При каком значении параметра p система уравнений
y+x^2=p
x^2+y^2=16
имеет три решения?

Для начала, давайте рассмотрим систему уравнений:

1) y + x^2 = p
2) x^2 + y^2 = 16

Мы хотим найти такое значение параметра p, при котором система имеет три решения.

Для этого, давайте исследуем графическое представление системы уравнений. Построим график каждого уравнения на координатной плоскости.

1) y + x^2 = p:

Для удобства, представим это уравнение как y = -x^2 + p.

Это парабола с вершиной в точке (0, p) и направленной вниз. Значение p влияет на высоту параболы.

2) x^2 + y^2 = 16:

Для этого уравнения, используем полный квадрат:
x^2 + y^2 = 16
(x – 0)^2 + (y – 0)^2 = 4^2

Это уравнение представляет окружность радиусом 4 и с центром в начале координат (0, 0).

Теперь, построим графики обеих уравнений на одной координатной плоскости:

График уравнения 1 (y + x^2 = p) будет параболой с вершиной в точке (0, p) и направленной вниз. График уравнения 2 (x^2 + y^2 = 16) будет окружностью радиусом 4 и с центром в начале координат (0, 0).

Теперь нужно понять, какое значение p приведет к тому, что график параболы пересечет окружность в трех точках.

Есть несколько случаев:

1) p больше 16:

Если значение p больше 16, график параболы будет выше графика окружности и точки пересечения будут отсутствовать. В этом случае, система не имеет решений.

2) p меньше 0:

Если значение p меньше 0, парабола будет находиться ниже графика окружности и снова не пересечет его. В этом случае, система также не имеет решений.

3) p равно 16:

Если значение p равно 16, это означает, что парабола проходит через центр окружности. В этом случае, система будет иметь только одну точку пересечения, так как парабола будет касаться окружности.

4) p от 0 до 16 (0 < p < 16):

Если значение p находится в этом диапазоне, парабола будет пересекать окружность в двух точках. Это означает, что система будет иметь два решения.

Итак, система будет иметь три решения только при одном определенном значении параметра p - когда попадает в диапазон от 0 до 16 (0 < p < 16).