При каких значениях р вершины парабол у=-х^2+8px+p и y=-x^2+8px+4 расположены на одну сторону от оси х?

Поскольку ветки парабол направлены вниз, то вершины парабол расположены либо выше оси абсцисс при условии, что D > 0, либо ниже оси абсцисс, если D < 0.

1) D > 0;

Имеем систему неравенств:

64p² + 4p > 0 и 64p² + 16 > 0

p(16p + 1) > 0 и 4p² + 1 > 0 второе неравенство удовлетворяют все действительные числа, поэтому система равносильна первому неравенству.

p(16p + 1) > 0; p(16p + 1) = 0; p₁ = 0; p₂ = -1/16.

-1/16 0>

p∈(-∞; -1/16)U(0; ∞)

При p∈(-∞; -1/16)U(0; ∞) вершины парабол расположены выше оси абсцисс

2) D < 0 исключается, поскольку у второй функции дискриминант положителен и её вершина располагается выше оси абсцисс.