При каких значениях параметров a,b,c многочлен x^3+ax^2+bx+c делится нацело на двочлены x-1 и x+2, а при делении на двочлен x+1 даёт в остатке 10

Ответы

mashaivedmed05 03.10.2020 05:43

Т.к. многочлен x³+ax²+bx+c делится нацело и на двучлен х-1 и на двучлен х+2, то он делится нацело и на произведение

(x-1)(x+2)=x²+x-2.

Т.к. степень многочлена x³+ax²+bx+c равна 3, а степень трехчлена x²+x-2 равна 2, то частное от их деления есть двучлен вида х-k.

Т.е. (x²+x-2)(x-k) = x³+ax²+bx+c. Раскроем скобки в левой части:

x³+x²-2x-kx²-kx+2k = x³+ax²+bx+c

x³+(1-k)x²+(-2-k)x+2k = x³+ax²+bx+c

Используя метод неопределенных коэффициентов, получим соотношения для a, b и с:

a = 1-k, b = -2-k, с = 2k.

Т.к. при делении x³+ax²+bx+c на х+1 в остатке получается 10, то по свойству делимости многочленов значение многочлена x³+ax²+bx+c при х = -1 должно быть равно 10, т.е. (-1)³+a(-1)²+b(-1)+c = 10, отсюда a-b+c=11.

Решим систему уравнений: $\begin {cases} a=1-k\\ b=-2-k\\ c=2k\\ a-b+c=11\end {cases}\Leftrightarrow \begin {cases} a=1-k\\ b=-2-k\\ c=2k\\ (1-k)-(-2-k)+2k=11\end {cases}\Leftrightarrow \begin {cases} a=1-k\\ b=-2-k\\ c=2k\\ 2k=8\end {cases}\Leftrightarrow$