При каких значениях параметра a один из корней уравнения (x-a)( x^2 -4x+3)=0 является средним арифметическим двух других?

ну как-то так: 
(x+a)(x^2-6x+8) = 0 тогда и только тогда когда или x+a = 0 или x^2 — 6x + 8 = 0.
решаем квадратное уравнение:  x^2 — 6x + 8 = 0. 
дискриминант равен 1, следовательно уранение имеет два различных решения.
X1= 2, X2 = 4. 
Их среднее арифмктическое равно 3,следовательно третий корень равен 3, т.е 
x+a=0, где x = 3, т.е a = -3.
ответ: а = -3.