При каких значениях параметра а неравенство
ах^2+5ах+4а+3 < 0 не имеет решений?​

Чтобы неравенство $ax^2+5ax+4a+3<0$ не имело решений, нужно чтобы его график не пересекал ось $x$, то есть чтобы дискриминант квадратного трехчлена был отрицательным.

Дискриминант квадратного трехчлена равен $D = b^2 - 4ac$, где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$. В нашем случае $a$ равно $а$, $b$ равно $5а$, а $c$ равно $4а+3$. Запишем это формально:

$D = (5а)^2 - 4а(4а+3)$.

Упростим первое слагаемое, применив квадрат разности:

$D = 25а^2 - 16а^2 - 12а = 9а^2 - 12а$.

Теперь, чтобы неравенство $ax^2+5ax+4a+3<0$ не имело решений, нужно, чтобы $D<0$. Составим неравенство:

$9а^2 - 12а < 0$.

Факторизуем его:

$3а(3а-4) < 0$.

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если $a<0$, то $3а<0$ и $3а-4<0$, следовательно, $3а(3а-4)<0$.

2. Если $a>\frac43$, то $3а>0$ и $3а-4>0$, следовательно, $3а(3а-4)<0$.

В обоих случаях выполняется неравенство $3а(3а-4)<0$, значит, ответ на вопрос "при каких значениях параметра $а$ неравенство $ах^2+5ах+4а+3 < 0$ не имеет решений?" - при любых $а<0$ или $а>\frac43$.