При каких значениях m вершины парабол y=-x2-6mx+m и y=x2-4mx-2 расположены по одну сторону от оси x

Вершины парабол будут расположены по одну сторону от оси ОХ,  если ординаты вершин будут иметь одинаковый знак, т.е. обе ординаты будут положительны (обе вершины выше оси ОХ)  или обе отрицательны (обе вершины ниже оси ОХ)
.

y = -x² - 6mx + m  

найдем координаты вершины (х₀, y₀): 

         х₀ = 6m/-2  = -3m

         y₀ = - (-3m)² - 6m(-3m) + m = -9m² + 18m² + m = 9m² + m

y = x² - 4mx - 2 

найдем координаты вершины (х₀, y₀): 

         х₀ = 4m/2 = 2m

         y₀ =  (2m)² - 4m(2m) - 2 = 4m² - 8m² - 2 = - 4m² - 2 = - (4m² + 2) 

Т.к.  выражение  - (4m² + 2)  отрицательно при любом m,  значит выражение  9m² + m  должно быть тоже отрицательно, т.е. 

                      9m² + m < 0

                      m(9m + 1) < 0 

                      9m(m + 1/9) < 0     | :9

                      m(m  + 1/9) < 0

Нули ф-ции  m = 0  или   m = - 1/9,  расставим знаки ф-ции,  учитывая, что ветви параболы направлены вверх.

           +                                                                                           + 

-1/90

                                                      -

Т.о.  m(m  + 1/9) < 0   на промежутке  (-1/9 ; 0 )

ответ:   -1/9 < m < 0.