При каких значениях k прямая y=kx-1 касается к окружности x^2+y^2-2x=0

Перепишем уравнение окружности:
x² + y² - 2x = 0
(x² - 2x + 1) + y² = 1
(x - 1)² + y² = 1
Это окружность с центром в точке O (1; 0) и радиусом R = 1.

Прямая y = kx - 1 проходит через точку (0; -1).

Если построить окружность (x - 1)² + y² = 1 и точку (0; -1) на координатной плоскости, можно убедиться, что единственной возможной точкой касания прямой y = kx - 1 к окружности (x - 1)² + y² = 1 является точка (1; -1).

Найдём значение k, при котором это возможно:
-1 = k·1 - 1
k = 0

ответ: k = 0.