При каких отрицательных значениях k прямая y=kx+2 пересекает окружность x^2+(y-4)^2= 2 в двух точках

Подставляем первое уравнение во второе.
x²+(kx+2-4)²=2
x²+(kx-2)²=2
x²+k²x²-4kx+4=2
(k²+1)x²-4kx+2=0
Решаем квадратное уравнение
D=(4k)²-4(k²+1)*2=16k²-8k²-8=8k²-8=8 (k²-1)
Квадратное уравнение имеет два решения когда его дискриминант больше нуля.
k²-1>0
k²>1
k <-1 или k>1
ответ: k ∈(-∞;-1)