При каких целых значениях u значение выражения (u-2)²:u² будет ровно целому числу

Ответы

MrDeder 24.11.2020 18:18

Итак, есть выражение

$\displaystyle \frac{(u-2)^2}{u^2}=\frac{u^2-4u+4}{u^2}=\frac{u^2}{u^2}-\frac{-4u+4}{u^2}=1-\frac{-4(u-1)}{u^2}=1+\frac{4(u-1)}{u^2}$

Единица - число целое, его и не рассматриваем, главное, чтобы дробь принимала целые значения. Как этого добиться?

Можно по-разному сгруппировать множители, есть два варианта, рассмотрим каждый из них и в конце объединим полученные значения

1) рассмотрим случай, когда

$\displaystyle \frac{4(u-1)}{u^2}=\frac{4}{u}\cdot \frac{u-1}{u}$

В этом случае 4 делится на , такие значения легко подбираются, самое главное найти те

пусть u-1 делится на , тогда частное от деления некоторое число

$\displaystyle \frac{u-1}{u}=k, \ k\in \mathbb{Z}$

Немного преобразуем, умножив на (оно не равно 0 ещё по условию)

$u-1=ku \Rightarrow u(1-k)=1$

Нужно решить полученное уравнение в целых числах. В данном случае все просто: произведение целых чисел равно единице либо когда каждое из чисел равно 1, либо -1.

То есть 1 вариант, когда $u=1; 1-k=1 \Rightarrow u=1; k=0$

либо 2 вариант, когда $u=-1; 1-k=-1 \Rightarrow u=-1; k=2$

Самое главное, что 4 делится на оба полученных значения $u=\pm1$ , то есть они точно пойдут в ответ.

Теперь рассматриваем случай 2):

считаем, что u-1 не делится на нацело (когда делится, мы уже такие случаи нашли), и тогда остается только вариант такой:

$\displaystyle \frac{4(u-1)}{u^2} = \frac{4}{u^2}\cdot(u-1)$

Понятно, что при целых правый сомножитель всегда будет целым, значит, нужно добиться, чтобы левый тоже был целым.

Если совсем просто, то заменим t=u^2 , и имеем тогда выражение

$\displaystyle \frac{4}{t}$ , которое должно быть целым, отсюда следует, что является делителем числа 4, а их немного на самом деле. $t=\pm 1; t=\pm2; t=\pm4$

Правда, вспоминаем, что

$t=u^2 \Rightarrow u^2=\pm1; u^2=\pm2; u^2=\pm4; u^2 \geq 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow u^2=1; u^2=2; u^2=4 \Rightarrow u=\pm1; u=\pm \sqrt{2}; u=\pm2$

Нам нужны целые числа, поэтому значения с корнями откидываются, а ещё вспоминаем, что общий ответ получается путем объединения случаев 1 и 2, но нам повезло, оба значения из случая 1 вошли в значения случая 2.

Вообще есть ещё случай группировки 3:

$\displaystyle \frac{4(u-1)}{u^2}=4\cdot \frac{u-1}{u^2}$