Алгебра: при каких a уравнение имеет ровно 8 корней

Объяснение:Все ненулевые решения разбиваются на пары . Чтобы у уравнения было 8 корней, у него должно быть ровно 4 положительных корня, и 0 не должен являться корнем. Дальше будем думать только о неотрицательных корнях.Уравнение с косинусом легко решается: — функция, которая убывает от до , принимая все значения от до 0. Значит, чтобы условие было выполнено, в промежуток должны попасть ровно 4 числа вида . Понятно, что в промежуток попадут 0, 2π, 4π, 6π — и не попадут 8π и т.д.Условие этого: При...

$cos\sqrt{a^2-x^2} =1$
при каких a уравнение имеет ровно 8 корней

Ответы

БеЗуМнаЯолИвьЕшКа 20.09.2021 05:04

$a\in(-8\pi,6\pi)\cup(6\pi,8\pi)$

Объяснение:

Все ненулевые решения разбиваются на пары x, -x . Чтобы у уравнения было 8 корней, у него должно быть ровно 4 положительных корня, и 0 не должен являться корнем. Дальше будем думать только о неотрицательных корнях.

Уравнение с косинусом легко решается:

$\cos\sqrt{a^2-x^2}=1\Leftrightarrow \sqrt{a^2-x^2}=2\pi n,\; n\in\mathbb Z$

$f(x)=\sqrt{a^2-x^2}$ — функция, которая убывает от x = 0 до x = |a| , принимая все значения от |a| до 0.

Значит, чтобы условие было выполнено, в промежуток [0, |a|) должны попасть ровно 4 числа вида $2\pi n$ . Понятно, что в промежуток попадут 0, 2π, 4π, 6π — и не попадут 8π и т.д.