При автоматической прессовке карболитовых болванок 2/3 общего числа из них не имеют зазубрин. Найдите вероятность того, что из 450 взятых наудачу болванок, количество болванок без зазубрин заключено между 280 и 320.

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о вероятности событий и применение формулы биномиального распределения.

1. Задача состоит в определении вероятности того, что из 450 взятых наудачу карболитовых болванок, количество болванок без зазубрин заключено между 280 и 320.

2. Первым шагом нам необходимо определить вероятность того, что отдельная болванка не имеет зазубрин. По условию дано, что при автоматической прессовке 2/3 общего числа болванок не имеют зазубрин. Это означает, что вероятность того, что отдельная болванка не имеет зазубрин, равна 2/3.

3. Далее, нам нужно применить формулу биномиального распределения, чтобы определить вероятность того, что из 450 взятых наудачу болванок, количество болванок без зазубрин будет заключено между 280 и 320.

Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n-k),
где:
- P(X = k) - вероятность того, что количество успешных испытаний равно k,
- C(n, k) - число сочетаний из n по k (т.е. количество способов выбрать k успешных испытаний из n),
- p - вероятность успеха в отдельном испытании,
- n - общее число испытаний.

4. Определим значения в формуле:
- k - количество болванок без зазубрин, такое что 280 <= k <= 320,
- n - общее число испытаний, равное 450,
- p - вероятность успеха (отдельная болванка без зазубрин), равная 2/3.

5. Нам нужно найти сумму вероятностей для всех возможных значений k (от 280 до 320):
P_total = P(X = 280) + P(X = 281) + ... + P(X = 320).

6. Мы можем вычислить каждую вероятность P(X = k) с использованием формулы биномиального распределения, подставляя значения в формулу по очереди.

7. Обычно вручную вычислить такую сумму вероятностей может быть трудоемко, поэтому вместо этого мы можем воспользоваться компьютером или калькулятором с функцией вероятности биномиального распределения. Воспользуемся, например, Python и его библиотекой SciPy:

import scipy.stats as stats

n = 450
p = 2/3
k_range = range(280, 321) # к = 280, 281, ..., 320

P_total = sum(stats.binom.pmf(k, n, p) for k in k_range)

print(P_total)

8. Запустив этот код, мы получим вероятность P_total, того, что из 450 взятых наудачу болванок, количество болванок без зазубрин заключено между 280 и 320.

Вот таким образом можно решить данную задачу, используя вероятностные знания и формулу биномиального распределения.