Построить гиперболу x^2/64 − y^2/36 =1. Найти а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Добрый день! Ниже я приведу подробное объяснение каждого из пунктов вашего вопроса.

а) Для построения гиперболы x^2/64 - y^2/36 = 1, нам необходимо найти полуоси, которые являются главными осями гиперболы. Для этого мы должны выразить x и y относительно друг друга.

Уравнение гиперболы имеет вид x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1, где a и b - длины полуосей.

В данном случае, у нас имеется x^2/64 - y^2/36 = 1. Чтобы выразить x относительно y, мы домножаем оба выражения на 64:

x^2 - 64y^2/36 = 64

Затем, домножаем оба выражения на 36, чтобы выразить y:

36x^2 - 64y^2 = 2304

Делаем замену переменных, где X = 6x и Y = 4y:

X^2 - Y^2 = 2304

Теперь мы видим, что уравнение является уравнением гиперболы стандартной формы, где a^2 = 2304. Таким образом, полуось a = √2304 = 48 и полуось b = √а^2 - b^2 = √(2304 - 144) = √2160 = 6√15.

Ответ: Полуось a = 48 и полуось b = 6√15.

б) Чтобы найти координаты фокусов гиперболы, мы используем формулу c^2 = a^2 + b^2, где c - расстояние от центра гиперболы до фокуса.

В данном случае, a = 48 и b = 6√15. Подставляем значения в формулу:

c^2 = 48^2 + (6√15)^2 = 2304 + 540 = 2844

Теперь, находим значение c:

c = √2844 = 6√79

Фокусы гиперболы находятся по обе стороны центра на оси x, поэтому координаты фокусов будут (±c, 0).

Ответ: Координаты фокусов (-6√79, 0) и (6√79, 0).

в) Эксцентриситет (e) гиперболы можно найти по формуле e = c/a.

В данном случае, c = 6√79 и a = 48. Подставляем значения в формулу:

e = (6√79)/48

Ответ: Эксцентриситет гиперболы равен (6√79)/48.

г) Уравнения асимптот гиперболы можно найти с помощью формулы y = ±(b/a)x.

В данном случае, b = 6√15 и a = 48. Подставляем значения в формулу:

y = ±(6√15/48)x

Теперь мы можем записать уравнения асимптот:

y = (6√15/48)x и y = -(6√15/48)x

Ответ: Уравнения асимптот гиперболы: y = (6√15/48)x и y = -(6√15/48)x.

д) Уравнения директрис гиперболы можно найти по формуле (x - a^2/c, 0) и (x + a^2/c, 0).

В данном случае, a = 48 и c = 6√79. Подставляем значения в формулу:

(x - 48^2/(6√79), 0) и (x + 48^2/(6√79), 0)

После упрощения получаем:

(x - 3072/6√79, 0) и (x + 3072/6√79, 0)

Ответ: Уравнения директрис гиперболы: (x - 3072/6√79, 0) и (x + 3072/6√79, 0).

Надеюсь, что я ответил на ваш вопрос и все понятно. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!