Последовательность задана рекуррентно: х(1)=1; х(n+1)=3х(n)+1. Задать эту последовательность формулой n-ого члена. Мне без разницы какими методами это будет решено, главно чтобы все было понятно из решения

WoudBack1 WoudBack1    2   01.06.2021 18:45    2

Ответы
5v09 5v09  01.06.2021 18:50

x_1=1;\ x_{n+1}=3x_n+1

Представим второе условие в виде:

x_{n+1}+k=3(x_n+k)

Определим k:

x_{n+1}+k=3x_n+3k

x_{n+1}=3x_n+2k

Сравнивая полученное соотношение с заданным, имеем:

3x_n+2k=3x_n+1

2k=1

k=\dfrac{1}{2}

Тогда, наше представление имеет вид:

x_{n+1}+\dfrac{1}{2} =3\left(x_n+\dfrac{1}{2}\right)

Проследим закономерность:

x_2+\dfrac{1}{2} =3\left(x_1+\dfrac{1}{2}\right)

x_3+\dfrac{1}{2} =3\left(x_2+\dfrac{1}{2}\right)=3^2\left(x_1+\dfrac{1}{2}\right)

x_4+\dfrac{1}{2} =3\left(x_3+\dfrac{1}{2}\right)=3^3\left(x_1+\dfrac{1}{2}\right)

...

x_n+\dfrac{1}{2} =3^{n-1}\left(x_1+\dfrac{1}{2}\right)

Подставим значение x_1:

x_n+\dfrac{1}{2} =3^{n-1}\cdot\left(1+\dfrac{1}{2}\right)

x_n+\dfrac{1}{2} =3^{n-1}\cdot\dfrac{3}{2}

x_n+\dfrac{1}{2} =\dfrac{3^n}{2}

Тогда формула n-ого члена:

\boxed{x_n=\dfrac{3^n-1}{2}}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра