Последовательность задана рекуррентно: а1 = 4, а2 = 10, аn+2 = 4аn+1 — 3аn. Докажите, что аn = 3n + 1.

Добрый день!

Чтобы доказать, что аn = 3n + 1 для данной рекуррентной последовательности, нам потребуется использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай
Доказательство методом математической индукции всегда начинается с базового случая, который обычно является проверкой первого значения последовательности.

Для нашей последовательности, дано, что а1 = 4. Проверим, выполняется ли это равенство:
4 = 3(1) + 1
4 = 4

Базовый случай выполняется, так как значение а1 совпадает с правой частью уравнения.

Шаг 2: Предположение индукции
Затем сделаем предположение, что для некоторого k, верно, что аk = 3k + 1. Это называется предположением индукции.

Шаг 3: Доказательство для n = k + 1
Теперь докажем, что предположение индукции верно для n = k + 1, чтобы подтвердить, что последовательность выполняется для всех значений n.

Используя рекуррентное соотношение аn+2 = 4аn+1 — 3аn, подставим наше предположение индукции для n = k и n = k + 1:

аk+2 = 4аk+1 - 3аk (1)
аk+3 = 4аk+2 - 3аk+1 (2)

Теперь запишем алгебраическое выражение для аk+2, используя наше предположение индукции:

подставим предположение аk = 3k + 1 в (1):
аk+2 = 4(3k + 1) - 3(3k + 1)
аk+2 = 12k + 4 - 9k - 3
аk+2 = 3k + 1

Теперь подставим полученное значение аk+2 в уравнение (2):

ак+3 = 4(ак+2) - 3(ак+1)
ак+3 = 4(3k + 1) - 3(ак+1)
ак+3 = 12k + 4 - 3(3k + 1)
ак+3 = 12k + 4 - 9k - 3
ак+3 = 3k + 1

Мы видим, что значение ак+3 также равно 3k + 1, что подтверждает наше предположение индукции для n = k + 1.

Шаг 4: Заключение
Мы успешно провели индуктивное доказательство для базового случая и показали, что если предположение верно для некоторого k, то оно верно и для n = k + 1.

Таким образом, по методу математической индукции мы можем сделать вывод, что аn = 3n + 1 для данной рекуррентной последовательности.

Готово!