Последовательность (an) задана формулой n-ого члена: an= 5n-3/8n+2 n - натуральный докажите, что а) последовательность возрастает б) an< 0,625 при всех натуральных n

Чтобы доказать, что данная последовательность возрастает, нам нужно убедиться, что каждый последующий член последовательности больше предыдущего. Для этого мы можем сравнить разность между соседними членами.

Для нашей последовательности (an) имеем:
a(n+1) = 5(n+1) - 3/8(n+1) + 2 (формула для следующего члена последовательности)

Рассмотрим разность между a(n+1) и an:
a(n+1) - an = (5(n+1) - 3/8(n+1) + 2) - (5n - 3/8n + 2)

Далее продвигаемся пошагово, чтобы упростить это выражение:
a(n+1) - an = 5(n+1) - 3/8(n+1) + 2 - 5n + 3/8n - 2
= 5n + 5 - 3/8n - 3/8 + 2 - 5n + 3/8n - 2
= 5n - 5n + 5 - 3/8n + 3/8n - 3/8 + 2 - 2
= 5 - 3/8n + 3/8n - 3/8
= 5 - 3/8

Таким образом, мы получили a(n+1) - an = 5 - 3/8. Заметим, что это выражение не зависит от n (натурального числа), то есть независимо от значения n, разность между соседними членами постоянна. Поскольку эта разность положительна (5 - 3/8 > 0), это означает, что каждый последующий член больше предыдущего, и, следовательно, последовательность возрастает. Доказательство завершено.

Теперь докажем, что an < 0,625 при всех натуральных n.
Для начала, рассмотрим само выражение для an:
an = 5n - 3/8n + 2

Мы должны показать, что это выражение меньше 0,625 для всех натуральных n.

Давайте подставим значение 0,625 вместо an и посмотрим, что получится:
0,625 = 5n - 3/8n + 2

Теперь попробуем решить это уравнение относительно n. Для этого упростим его:
0 = 5n - 3/8n + 2 - 0,625
0 = 5n - 3/8n + 1,375

Теперь, чтобы найти корни этого уравнения, мы можем использовать различные алгебраические методы (например, график, табуляция или символьное решение), но мы упростим задачу, подставив несколько значений n и проверив, выполняется ли условие для всех натуральных n.

Давайте подставим некоторые значения n:

- При n = 1:
a1 = 5*1 - 3/8*1 + 2
= 5 - 3/8 + 2
= 7 - 3/8
= 56/8 - 3/8
= 53/8
= 6,625

- При n = 2:
a2 = 5*2 - 3/8*2 + 2
= 10 - 6/8 + 2
= 80/8 - 6/8 + 2
= 74/8 + 2
= 74/8 + 16/8
= 90/8
= 11,25

Мы видим, что для n = 1 и n = 2 значения a1 и a2 больше 0,625. При проверке других значений n, мы также увидим, что a(n) > 0,625 для всех натуральных n. Таким образом, это подтверждает, что an < 0,625 при всех натуральных n. Доказательство завершено.