Показать,что уравнение x^3+3x-6=0 имеет только одно решение.связано с производной.

Возьмем производную от левой части:

Данное выражение вчегда больше нуля, т.к. число неотрицательное и если к нему прибавить 3, то получится число положительное. Следовательно функция, описываемая выражением в левой части, возрастает на всей области определения, а значит будет пересекать ось абсцисс только в одной точке. А это значит, что приведенное уравнение будет иметь только один корень.  

x³+3x-6=0;

f'(x)=3x²+3=3(x²+1). - данное выражение всегда положительно ⇒ ф-ция возрастает на всем промеутке(хотя это и так было очевидно - это ведь КУБИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА). Тогда очевидно, что корень единственный.