Почему нельзя разделить на cosx, чтобы получилось уравнение с tgx?

Поделить-то можно, поскольку точки, в которых не являются корнями (при любом из двух значений синуса) данного уравнения, т.е. потери корней не произойдёт.

Но такой ход не оставит уравнения на , поскольку есть синус во второй степени. Даже если поделить на косинус в квадрате -- есть синус в первой степени, который оставит лишний косинус.