Отметим на числовой прямой точки, при делении на 12 остаток 5, красным карандашом, а точки, при делении на 18 остаток 13-синим. каково будет наименьшее расстояние между красной и синей точкой?

Прикрепляю..........................

Отметим на числовой прямой точки, дающие при делении на 12 остаток 5, красным карандашом, а точки, дающие при делении на 18 остаток 13-синим. Каково будет наименьшее расстояние между красной и синей точкой?

Очевидно :
n₁  =12q₁ + 5 ( отмечены красным карандашом);  
n₂ =18q₂ + 13 (отмечены синим карандашом ) .
Расстояние между этими точками будет:
d=| n₁  - n₂ | = |12q₁ + 5  -( 18q₂ + 13) | = | 6(2q₁ -3q₂) - 8 | .
Значение выражения (2q₁ -3q₂) должна быть  не отрицательной (d  ≥0)
если :
2q₁ -3q₂ =0 ⇒ d =8 ;
---
2q₁ -3q₂ =1 ⇒ d =2 ;
---
2q₁ -3q₂ =2 ⇒ d =4 ;
2q₁ -3q₂ =3 ⇒ d =10  ;
и т.д.  расстояние  увеличивается.
Получается  d =dmin=2 , если уравнение 2q₁ -3q₂ =1  будет иметь целочисленное решение и оно имеет. 
Действительно:
2q₁ -3q₂ =1 ⇔2q₁ =3q₂+1 ⇔q₁ =q₂ +(q₂+1)/2 ,
замена (q₂+1)/2 =t  ∈ Z  ⇒ q₂ =2t -1  и q₁ =q₂ +(q₂+1)/2= 2t -1  +t =3t -1.
{q₁ =3t - 1 ; q₂ =2t -1 . 
Соответственно :
{ n₁  =12q₁ + 5  =36t -7  ; n₂ =18q₂ + 13 =36t -5  ; t ∈Z.
Бесконечно  множество  точек :
например:
t=-1⇒n₁ = - 43 ; n₂  = - 41 ;
t=0 ⇒n₁ =   -7 ;  n₂  = - 5 ;
t=1 ⇒n₁ =   29 ;  n₂  = 31 

ответ  : d min =2 .  

* * * между точками n₁  =36t -7  и   n₂ =36t -5  ; t ∈Z  * * *