Определить, сколько целых решений имеет неравенство на интервале (0, 2π). √3ctg(x+π/3) ≥ -1

Для решения данного неравенства, мы сначала перейдем к эквивалентному уравнению. Как известно, √3ctg(x+π/3) это таже самая, что и √3/tan(x+π/3). Используя тригонометрические соотношения для тангенса, преобразуем уравнение: √3/tan(x+π/3) ≥ -1 Нам нужно узнать, сколько целых решений имеет это уравнение на интервале (0, 2π). 1. Исключим дробь из уравнения, умножив обе части на tan(x+π/3): √3 ≥ -tan(x+π/3) 2. Вспомним, что tan(x+π/3) = (tanx + √3) / (1 - √3tanx). Подставим это в уравнение и упростим: √3 ≥ -(tanx + √3) / (1 - √3tanx) 3. Мы знаем, что √3 ≥ 0, поэтому мы можем убрать абсолютное значение из уравнения: tanx + √3 ≤ 0 4. Выразим tanx: tanx ≤ -√3 5. Теперь у нас есть неравенство, которое мы можем решить. Для этого осуществим следующие шаги: a. Найдем все углы в диапазоне (0, 2π), в которых tangx имеет значение, меньшее или равное -√3. b. Вспомним, что tan(x + π) = tanx, поэтому угол x= π является одним из решений. c. Также, tan(x + 2π) = tanx, поэтому угол x = 2π является также решением. d. Кроме того, существует общая формула, позволяющая найти все решения на заданном интервале: tanx = -√3 Такой тангенс имеет отношение к двум углам - π/3 и -4π/3. e. Поскольку предоставляется диапазон (0, 2π), нам нужно исключить решения, которые находятся вне этого диапазона. f. Таким образом, мы исключаем углы - π/3, 2π - π/3 и 2π - 4π/3. Таким образом, на интервале (0, 2π) неравенство √3ctg(x+π/3) ≥ -1 имеет два целых решения: x = π и x = 2π.