Определи точки экстремума заданной функции и укажи их характер:

y=4x−8cosx, x∈[−π/2;π].

Добрый день! Я с удовольствием помогу вам разобраться с этим математическим вопросом.

Для начала давайте разберемся, что такое точка экстремума. Точка экстремума функции - это точка на графике функции, в которой функция достигает максимального или минимального значения. В данном случае, нам нужно найти точки, в которых функция y=4x−8cosx достигает максимума или минимума.

Для решения этой задачи используем метод дифференцирования. Дифференцирование поможет нам найти значения производной функции, которые будут использоваться для нахождения экстремумов.

1. Вначале найдем производную функции y=4x−8cosx. Возьмем производную от каждого слагаемого функции по отдельности:
y' = (4x)' - (8cosx)'
= 4 - (-8sinx)
= 4 + 8sinx

2. Уравняем найденную производную функции y' равной нулю, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю:
4 + 8sinx = 0

3. Решим полученное уравнение относительно синуса:
8sinx = -4
sinx = -4/8
sinx = -1/2

4. Для нахождения значений x, найдем обратный синус (-1/2):
x = arcsin(-1/2)

5. Определим интервал, в котором ищем значения x: x∈[−π/2;π]. В данном случае, x будет принадлежать только этому интервалу.

Теперь найдем точки экстремума, подставляя значения x в исходную функцию y=4x−8cosx и анализируя полученные результаты:

а) Когда x = arcsin(-1/2):

y = 4x - 8cosx
y = 4(arcsin(-1/2)) - 8cos(arcsin(-1/2))

Для нахождения значения этого выражения, нам понадобится использовать таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор. Вычислим сначала значение arcsin(-1/2):

arcsin(-1/2) ≈ -π/6

Подставим это значение в исходную функцию:

y = 4(-π/6) - 8cos(-π/6)
y = -2π/3 + 4√3/2
y ≈ -2π/3 + 2√3

Таким образом, первая точка экстремума имеет координаты (arcsin(-1/2), -2π/3 + 2√3).

б) Затем рассмотрим значение x в интервале (-π/2, π), когда sinx > -1/2. В данном случае, производная положительна (так как sinx > -1/2), что означает, что функция возрастает на этом интервале и не достигает точек экстремума.

в) Когда x = π:

y = 4π - 8cosπ
y = 4π + 8
y ≈ 8 + 4π

Таким образом, вторая точка экстремума имеет координаты (π, 8 + 4π).

В итоге, мы нашли две точки экстремума и определили их характер: первая точка является минимумом функции, а вторая точка - максимумом функции.

Надеюсь, данное объяснение было понятным и полезным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь!