Объясните когда мы пишем pi-arcsin x а когда просто arsin x , и почему мы получили 4/5 а в arccos пишем -4/5

Привет! Я рад, что ты интересуешься таким сложным математическим вопросом. Давай разберемся по порядку.

Первое, что нужно знать, это то, что функция \(\arcsin\) и \(\sin\) - это обратные функции друг другу. Что это значит? Это значит, что если ты возьмешь число \(x\), применишь к нему функцию \(\sin\), а затем к полученному результату функцию \(\arcsin\), то ты получишь первоначальное число \(x\).

Допустим, у нас есть угол \(A\) в треугольнике, и мы хотим найти значение синуса этого угла (\(\sin A\)). Это можно сделать, если знаешь длины сторон треугольника. В этом случае, чтобы найти значение синуса, мы делим длину противоположной стороны на гипотенузу, что можно записать следующим образом: \(\sin A = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\).

Теперь давай рассмотрим случай, когда у нас есть число \(x\) и мы хотим найти угол, синус которого равен этому числу (то есть \(\arcsin x\)). Чтобы найти угол, мы должны найти такой угол \(A\) в треугольнике, для которого \(\sin A = x\). Но в этом случае мы не можем просто взять калькулятор и найти \(A\), потому что синус - это неинъективная функция (это значит, что разным углам могут соответствовать одни и те же значения синуса). В этом случае мы используем функцию \(\arcsin\), чтобы получить угол \(A\) из значения синуса \(x\).

Теперь давай поговорим о том, почему иногда мы пишем \(\pi-\arcsin x\), а иногда просто \(\arcsin x\). Для этого нам нужно разобрать изображение, которое ты приложил.

На изображении дано, что \(\sin A = \frac{3}{5}\) и мы хотим найти \(\arcsin \left(\frac{3}{5}\right)\). Так как синус - это отношение противоположной стороны к гипотенузе, мы знаем, что противоположная сторона равна 3, а гипотенуза равна 5. Теперь мы можем использовать определение обратной функции \(\arcsin\) и подставить значения: \(\arcsin \left(\frac{3}{5}\right) = \arcsin \left(\frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}}\right) = \arcsin \left(\frac{3}{5}\right)\).

Значение этого угла можно найти с помощью калькулятора или таблицы значений. Если мы найдем это значение, то получим примерно \(0.64\) радиан.

А теперь перейдем к второй части вопроса, где мы хотим найти угол, для которого \(\cos A = \frac{4}{5}\). В этом случае мы используем функцию \(\arccos\) (арккосинус), потому что \(\cos\) и \(\arccos\) - это обратные функции друг другу. То есть, если мы применим функцию \(\cos\) к углу \(A\), а затем к полученному результату функцию \(\arccos\), то мы получим первоначальный угол \(A\). Поэтому мы можем написать \(\arccos \left(\frac{4}{5}\right)\) для нахождения угла, значение косинуса которого равно \(\frac{4}{5}\).

Теперь, чтобы найти значение этого угла, мы можем использовать определение обратной функции \(\arccos\). То есть, \(\arccos \left(\frac{4}{5}\right) = \arccos \left(\frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}}\right)\). Здесь прилежащая сторона обозначает противоположную сторону, но прилегающую к углу \(A\). Так как противоположная сторона равна 4, а гипотенуза равна 5, мы можем подставить значения и получить \(\arccos \left(\frac{4}{5}\right)\).

Здесь есть небольшая разница с предыдущим случаем. В предыдущем случае мы использовали \(\arcsin\), и угол был между \(0\) и \(\frac{\pi}{2}\) радиан (для режима радиан). Но когда мы используем \(\arccos\), угол будет между \(0\) и \(\pi\) радиан.

Таким образом, для угла, значение косинуса которого равно \(\frac{4}{5}\), мы можем найти значение этого угла, используя калькулятор или таблицу значений, примерно равное \(0.93\) радиан.

Надеюсь, теперь тебе более понятно, когда мы пишем \(\pi - \arcsin x\) и \(\arccos x\), и почему мы получили значения \(\frac{4}{5}\) и \(-\frac{4}{5}\). Если у тебя остались дополнительные вопросы, не стесняйся задавать! Я всегда готов помочь разобраться в математике.