Объясните, , как определять в какой четверти лежит угол: а) 500 градусов б) -1290 градусов в)1140 градусов заранее .

Все очень просто:
если угол от 0 до 90 градусов,то он принадлежит 1 четверти
если угол от 90 до 180 градусов,то он принадлежит 2 четверти
если угол от 180 до 270 градусов,то он принадлежит 3 четверти
если угол от 270 до 360 градусов,то он принадлежит 4 четверти
Это для положительных углов,для отрицательных углов все с точностью до наоборот:
если угол от 0 до -90 градусов,то он принадлежит 4 четверти
если угол от -90 до -180 градусов,то он принадлежит 3 четверти
если угол от -180 до -270 градусов,то он принадлежит 2 четверти
если угол от -270 до -360 градусов,то он принадлежит 1 четверти
Отсчет угла ведется строго от нуля:против часовой если угол положительный,против-если отрицательный(рисунок)
Если угол содержит в себе кол-во градусов большее чем 360,то можно эти 360 градусов убрать...четверть угла не изменится.
В вашем случае:
а)500-360=140(вторая четверть,т.к. 90<140<180)
б)-1290+(да-да складывание,т.к. угол отрицательный)360*3=-210(вторая четверть,т.к.-270<-210<-180,не забываем про отстчет против часовой стрелки)
в)1140-360*3=60(первая четверть)