Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y=x²+ 2, y=x+4

kozakova13 kozakova13    3   27.05.2020 14:30    4

Ответы
POMIDOrio POMIDOrio  30.08.2020 11:08
ответ:  \bold{4,5}.Решение:    

Сначала построим графики обеих функций: параболы y=x^2+2 и обычной прямой y=x+4 (чертеж смотрите ниже). Точками пересечения будут являться (-1;3) и (2;6) (для того, чтобы их найти, просто решим квадратное уравнение x^2+2=x-4 или же x^2-x-2=0 теоремой Виета).

Чтобы найти искомую площадь, мы найдем площадь под графиком (выделено светло-голубым и желтым цветом) и площадь обведенной серым трапеции. После из второго вычтем первое и получим то, что нам нужно.

1). Площадь трапеции.

S_{tr} = 3 \cdot 3 + \dfrac{3 \cdot 3}{2} = 13,5.

2). Площадь под графиком.

Нам понадобится следующая формула (Ньютона-Лейбница):

\displaystyle \int\limits^a_b {f(x)} \, dx = F(x) \; |_{a}^{b} = F(b)-F(a).

Мы будем искать площадь на отрезке [-1;2]:

\displaystyle \int\limits^2_{-1} {(x^2+2)} \, dx = \bigg (\frac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot x \bigg ) dx \;|_{-1}^{\;2} = \bigg (\frac{x^3}{3} + 2x \bigg ) dx \;|_{-1}^{\;2} = \\\\=\bigg (\frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 \bigg ) - \bigg (\frac{(-1)^3}{3} + 2 \cdot (-1) \bigg ) = \frac{8}{3} + 4 + \frac{1}{3} + 2 = 2 + 3 + 4 = 9.

3). Разность - искомая площадь.

S = 13,5 - 9 = 4,5.

Задача решена!


Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y=x²+ 2, y=x+4
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра