Нужно составить уравнение окружности

owl42 owl42    2   14.12.2019 11:44    0

Ответы
ekaterinatrushkova ekaterinatrushkova  10.10.2020 20:33

{(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 20

Объяснение:

заданная точка принадлежит прямой

2x + y - 5 = 0

перпендикуляры к заданным прямым будут описываться формулой соответственно:

y = \frac{1}{2} x + b1 \\ y = \frac{1}{2} x + b2

так как коэффициенты при x одинаковы, сами прямые и их перпендикуляры параллельны, поэтому перпендикуляр проходящий через точку (2,1) будет проходит через центр окружности и пересекать точку касания первой прямой. уравнение этого перпендикуляра найдем подставив x и y

1 = \frac{1}{2} \times 2 + b2 \\ b2 = 0

значит перпендикуляр пересекающий точки касания и центр окружности

y = \frac{x}{2}

точка касания первой прямой:

2x + \frac{x}{2} + 15 = 0 \\ 5x = - 30 \\ x = - 6 \\ y = - 3

тогда центр окружности лежит посредине двух точек касания и получаем:

x_{c} = \frac{x1 + x2}{2} = \frac{2 - 6}{2} = - 2 \\ y_{c} = \frac{y1 + y2}{2} = \frac{1 - 3}{2} = - 1

расстояние между этими точками равно двум радиусам, поэтому:

r = \frac{ \sqrt{{(x1 - x2)}^{2} + {(y1 - y2)}^{2} } }{2} = \\ = \frac{ \sqrt{ {(2 + 6)}^{2} + {(1 + 3)}^{2} } }{2} = \frac{ \sqrt{80} }{2} = 2 \sqrt{5}

поэтому уравнение окружности:

{(x - ( - 2))}^{2} + {(y - ( - 1))}^{2} = {(2 \sqrt{5} )}^{2} \\ {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 20

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ