Нужно решение, а не просто к трехзначному натуральному числу а дописали его же, а к полученному числу прибавили 1 и получили точный

Question

Алгебра: Нужно решение, а не просто к трехзначному натуральному числу а дописали его же, а к полученному числу прибавили 1 и получили точный квадрат. найдите все такие числа.

kceniaart18 · Answer

наше трехзначное число , теперь после дописки
$10^5a+10^4b+10^3c+10^2a+10b+c+1=\\
1001(10^2a+10b+c)+1=k^2\\
1001(10^2a+10b+c)=(k-1)(k+1)\\
7*11*13(10^2a+10b+c)=(k-1)(k+1)\\
$
откуда видно что число должно быть делителем таких чисел
$7*11*n\\ 
7*13*n\\
11*13*n$ . Теперь учитывая то что 317<k<999
нужно рассмотреть 18 видов числа k-1

и

всего их 18
то есть это произведение числа $7*11*n-1\\
7*13*n-1\\
11*13*n-1\\
\\
7*11*n+1\\
7*11*n+1\\
11*13*n+1$ , проверяя получаем что k=846,727,428,573