1. Алгебра
  2. Необходимо вычислить длину дуги

Необходимо вычислить длину дуги и объем тела, полученного вращение вокруг оси Оx


Необходимо вычислить длину дуги и объем тела, полученного вращение вокруг оси Оx

юлия20082 юлия20082    2   05.04.2021 23:03    1

Ответы
GBNMK GBNMK  05.05.2021 23:04

{}\ \ y=x^2-1\ \ ,\ \ OX:y=0\ \ ,\\\\x^2-1=0\ \ ,\ \ x^2=1\ \ ,\ \ x=\pm 1\\\\l=\int\limits^1_{-1} \, \sqrt{1+(y')^2}\, dx=\int\limits^1_{-1} \, \sqrt{1+(2x)^2}\, dx=\int\limits^1_{-1} \, \sqrt{1+4x^2}\, dx=(\star )\\\\\\Q=\int \sqrt{1+4x^2}\, dx=\Big[\ u=\sqrt{1+4x^2}\ ,\ du=\dfrac{8x\, dx}{2\sqrt{1+4x^2}}=\dfrac{4x\, dx}{\sqrt{1+4x^2}}\ ,\\\\\\dv=dx\ \ ,\ \ v=x\ \Big]=uv-\int v\, du=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \dfrac{4x^2\, dx}{\sqrt{1+4x^2}}=

=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \dfrac{(1+4x^2)-1}{\sqrt{1+4x^2}}\, dx=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \Big(\dfrac{1+4x^2}{\sqrt{1+4x^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{1+4x^2}}\Big)\, dx=\\\\\\=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \sqrt{1+4x^2}\, dx+\int \dfrac{dx}{\sqrt{1+4x^2}}=\\\\\\=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-\int \sqrt{1+4x^2}\, dx+\dfrac{1}{2}\int \dfrac{d(2x)}{\sqrt{1+(2x)^2}}=\\\\\\=x\cdot \sqrt{1+4x^2}-Q+\dfrac{1}{2}\cdot ln\Big|\, 2x+\sqrt{1+4x^2}\, \Big|+C\ \ \ \Rightarrow

2Q=x\cdot \sqrt{1+4x^2}+\dfrac{1}{2}\cdot ln\Big|\, 2x+\sqrt{1+4x^2}\, \Big|+C\\\\\\Q=\dfrac{1}{2}\, x\cdot \sqrt{1+4x^2}+\dfrac{1}{4}\cdot ln\Big|\, 2x+\sqrt{1+4x^2}\, \Big|+\dfrac{C}{2}

(\star )=\int\limits^1_{-1}\, \sqrt{1+4x^2}\, dx=\Big(\dfrac{1}{2}\, x\cdot \sqrt{1+4x^2}+\dfrac{1}{4}\cdot ln\Big|\, 2x+\sqrt{1+4x^2}\, \Big|\Big)\Big|_{-1}^1=\\\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt5+\dfrac{1}{4}\cdot ln\, \Big|\, 2+\sqrt5\, \Big|+\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt5-\dfrac{1}{4}\cdot ln\, \Big|\, -2+\sqrt5\, \Big|=\\\\\\=\sqrt5+\dfrac{1}{4}\cdot ln\Big(\dfrac{2+\sqrt5}{\sqrt5-2}\Big)\ ;

l=\sqrt5+\dfrac{1}{4}\cdot ln\Big(\dfrac{2+\sqrt5}{\sqrt5-2}\Big)

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
dead11dead dead11dead  21.12.2021 07:36
Пятый член геометрической прогрессии 3; -9 равен...
ланя2 ланя2  21.12.2021 07:46
No3. Решите уравнение -Введение новой переменной х*(x-3) – 4(х-3) = 0 Решение: Обозначим, х-3 =t x²1 - 41=0. t( x2 - 4)=0 t=0 или х? - 4=0 x²=4 х=2, x=-2 Вернемся...
yanazyaka yanazyaka  21.12.2021 07:47
2. Найдите координаты точки пересечения функции у= - 1/8 x -1 с осью абсцисс A)(0; 8) В(1/8,0) C)(8; 0) D)(-8;0)...
Вундеркингsd Вундеркингsd  21.12.2021 07:48
Упростите выражения А) y в пятой степени √81y² при y ≥ 0 Б) 4a√16/a², где a 0...
dawdawad dawdawad  21.12.2021 07:48
СОР ПО МАТЕМАТИКЕ ОЧЕНЬ НУЖНО...
роза266 роза266  21.12.2021 08:00
в кинотеатре 2 зала. в первом на два ряда больше чем во втором, но в каждом ряду 1-го зала на 1 место меньше чем во 2-ом. всего мест в 1-ом 300, во 2-ом 288 мест....
Larisa150301 Larisa150301  21.12.2021 08:02
В геометрической прогрессии (bn) известно, что q= 2, а S3=630 a)Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии b) Найдите сумму первых восьми членов геометрической...
logan8 logan8  22.04.2020 12:05
У кошику було вдвічі менше яблук, ніж у ящику. Після того як з кошика переклали в ящик 10 яблук, у ящику стало у 5 разів більше яблук, ніж у кошику. Скільки яблук...
nairisaaryan nairisaaryan  22.04.2020 12:05
Решите методом постановки систему уравнений x+2y=43x-4y=2...
missana12345 missana12345  22.04.2020 12:05
Найти наименьшее значение функции у=х² + 4х...

Популярные вопросы