Некоторые клетки доски 10\times1010×10 покрашены в красный цвет. Оказалось, что куда бы ни поставить ладью, она будет бить не меньше трёх клеток (включая ту, на которой стоит). Какое наименьшее количество клеток могло быть покрашено?

Давай решим эту задачу шаг за шагом.

Предположим, восемь клеток доски занимают всю её длину и размещены в одну строку. В этом случае, ладья поставленная на центральную клетку будет бить семь клеток — те, которые находятся слева и справа от центральной клетки.

Чтобы максимально уменьшить количество покрашенных клеток, давайте поставим одну ладью в верхний левый угол доски. Очевидно, что эта ладья будет бить часть клеток в первом столбце и часть клеток в первой строке доски.

Поскольку нам нужно обеспечить, чтобы каждая ладья била как минимум три клетки, нужно учитывать следующее:

- Ладья, размещенная в углу, бьет три клетки в первом ряду и три клетки в первом столбце. Всего она бьет 3+3-1=5 клеток.
- Так как покрытые клетки исключаются из дальнейших вычислений, мы можем рассматривать доску размером 9×99×9, без учета первого столбца и первой строки.
- Ладья, размещенная в углу второго ряда, будет бить три клетки во втором ряду и три клетки во втором столбце. Всего она бьет 3+3-1=5 клеток.
- Мы можем продолжать этот процесс, уменьшая размер доски на одну клетку в каждом измерении каждый раз, когда ставим ладью в угол. Каждая ладья будет бить 5 клеток.

Таким образом, если ладьей закрывать все углы доски, то каждая ладья будет заполнять 5 покрашенных клеток. У нас есть 4 угла на доске, поэтому общее количество покрашенных клеток будет равно 4*5=20.

Следовательно, наименьшее количество покрашенных клеток на доске размером 10×10 — 20.