Найти все значения параметра а , при которых уравнение имеет только один корень. в ответ записать наибольшее значение a.

Ответы

erdanabekok 13.08.2020 21:01

$\frac{1}{4x^2}+ \frac{1}{x}+a=0
\\\
\frac{1+4x+4ax^2}{4x^2}=0$
Запишем, что $x \neq 0$ и перейдем к следующему уравнению:
1+4x+4ax^2=0

Если

, то получим линейное уравнение:
$1+4x=0
\\\
x=- \frac{1}{4}$
В этом случае получаем единственный корень, значит значение a=0

удовлетворяет заданному условию.
Если $a \neq 0$ , то получаем квадратное уравнение, наличие решений у которого зависит от дискриминанта:
$4ax^2+4x+1=0
\\\
D_1=2^2-4a\cdot1=4-4a$
Возможны две версии: 1) при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень, подходящий по ОДЗ; 2) при положительном дискриминанте уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, а следовательно не удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения. При подстановке предполагаемого корня 0 в уравнение получим неверное равенство 1=0

, значит остается единственный вариант: приравнять дискриминант к нулю и проверить, будет ли уравнение в этом случае иметь единственный корень:
$4-4a=0
\\\
a=1$
Уравнение принимает вид:
$4x^2+4x+1=0
\\\
(2x+1)^2=0
\\\
2x+1=0
\\\
x=- \frac{1}{2}$
Значит значение a=1