Найти все целые положительные числа x, y, при которых является верным равенство

​

Объяснение:

назовем целые положительные числа  натуральными

2x²-xy-y²+2x+7y=28 решим уравнение как квадратное относительно х

2x²+x(2-y)+(7y-y²-28)=0

d=(2-y)²-4*2*(7y-y²-28)=4-4y+y²-56y+8y²+224=9y²-60y+228

x₁₋₂=((y-2)±√d)/4

выделим из дискриминанта полный квадрат

d=9y²-60y+228=(3y) ²-2*3y*10+10²-10²+228=(3y-10) ²+128

чтобы корни исходного уравнения были натуральными необходимо чтобы корень из дискриминанта был целым числом

(3y-10) ²+128=a²

Обозначим 3y-10=b

b²+128=a²  

a² -b²=128 решим в целых числах

(a-b)(a+b)=128

Сначала решим в натуральных числах

128={1*128;2*64;4*32;8*16;}

Получим системы уравнений которые решим методом сложения

Первая система

a-b=1

a+b=128

решение

2a=129 а-дробное не годится

Вторая  система

a-b=2

a+b=64

решение

2a=66; a=33;b=a-2=31;  

a=33;b=31

Третья  система

a-b=4

a+b=32

решение

2a=36; a=18; b=a-4=14;  

a=18;b=14

Четвертая система

a-b=8

a+b=16

решение

2a=24; a=12; b=a-8=4;  

a=12;b=4

a=33;b=31  

a=18;b=14

a=12;b=4

Для отрицательных чисел

128={-1*(-128);-2*(-64);-4*(-32);-8*(-16);}

Получим такие же ответы только с отрицательными числами

a=-33;b=-31  

a=-18;b=-14

a=-12;b=-4

таким образом

b={-4;-14;-31;4;14;31}

вернемся к замене переменных

b=3y-10  тогда

y=(b+10)/3

подставим в эту формулу значения b получим

y={2;-4/3;-7;14/3;8;41/3}

натуральными являются у=2 и y=8

дискриминант = (3y-10) ²+128

d(y₁ )=(3*2-10) ²+128=4²+128=16+128=144

d(y₂)=( (3*8-10) ²+128=14²+128=196+128=324

перейдем к вычислению корней

x₁₋₄=((y-2)±√d)/4

x₁-₂=((y₁-2)±√d(y₁)/4

x₃₋₄=((y₂-2)±√d(y₂)/4

x₁-₂=((2-2)±√144)/4=(±12)/4 вычисляем только натуральный корень х=3

x₃₋₄=((y₂-2)±√d(y₂)/4=((8-2)±√324)/4==(6±18)/4= вычисляем только натуральный корень х=6

получаем следующие натуральные решения (3;2) (6;8)  

проверка  

2x²-xy-y²+2x+7y=28

1)(3;2)

2*3²-3*2-2²+2*3+7*2=18-8-4+8+14= 32-+8+14=28

2) (6;8)  

2*6²-6*8-8²+2*6+7*8=2*36-6*8-64+2*6+7*8= 28