Найти все целочисленные решения уравнения:

5х+3у=11 с объяснением , )

ответ: (1+3k; 2-5k) k€Z

или (1-3m; 2+5m) m€Z.

Объяснение:

выразим, например, игрек...

у = (11-5x) / 3 = ((12-6х)+(х-1)) / 3

y = 4-2x + (x-1)/3

первые два слагаемых-целые числа, если х-целое число.

числитель (х-1) должен нацело делиться на 3, т.е. икс должен быть равен {...-8;-5;-2;1;4;7;10...}

х = 1+3k; k€Z и тогда

у = 4-2(1+3k) + (1+3k-1)/3 = 2-6k+k

y = 2-5k

или выразим икс...

х = (11-3у) / 5 = ((10-5у)+(2у+1)) / 5

x = 2-y + (2y+1)/5

числитель должен нацело делиться на 5 и должен быть >= 5 по модулю:

[ 2у+1 >= 5 и [ 2у+1 <= -5

[ у >= 2 и [ у <= -3

т.е. игрек должен быть равен {...-3;2;7;12...}

y = 2+5m; m€Z и тогда

х = 2-(2+5m) + (4+10m+1)/5

x = -5m+1+2m = 1-3m

Подберём такие    и    , чтобы выполнялось равенство:   .

Вычтем из уравнения  уравнение   ;

Так как (х-1) должно быть целым, то  (у-2) должно делиться на 5, а значит (у-2) можно представить в виде