Найти уравнения проекции прямой (x-4)/3=(y+1)/-2=z/4 на плоскость x-3y-z+8=0

Чтобы найти уравнения проекции прямой на плоскость, мы можем использовать следующий подход:

1) Найдем вектор нормали к плоскости.
2) Найдем вектор направления прямой.
3) Компоненты вектора направления прямой, параллельные плоскости, будут являться компонентами вектора направления проекции.
4) Используем найденный вектор направления проекции для записи уравнения проекции в параметрической форме.
5) Приведем найденное уравнение в общем виде.

Поехали по шагам!

1) Найдем вектор нормали к плоскости.
В общем виде уравнение плоскости представляется в виде ax + by + cz + d = 0, где (a, b, c) - нормаль к плоскости.
В нашем случае плоскость задана уравнением x - 3y - z + 8 = 0.
Нормаль к плоскости будет иметь компоненты (1, -3, -1).

2) Найдем вектор направления прямой.
Для этого будем рассматривать коэффициенты при x, y и z в уравнении прямой.
В данном случае коэффициенты перед x, y и z равны соответственно 1/3, -1/2 и 1/4.
Поэтому вектор направления прямой будет иметь компоненты (1/3, -1/2, 1/4).

3) Найдем вектор направления проекции.
Для этого нужно найти компоненты вектора направления прямой, которые параллельны плоскости.
Для этого мы можем умножить векторы направления прямой и нормали к плоскости на любое число, чтобы обнулить одну из компонент.
Давайте умножим вектор направления прямой на 4, чтобы сделать компоненту z равной 1 (4 * 1/4 = 1).
Таким образом, вектор направления проекции будет иметь компоненты (4/3, -2/2, 1).

4) Запишем уравнение проекции в параметрической форме.
Параметрическая форма уравнения прямой имеет вид:
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct,
где (x0, y0, z0) - точка на прямой, (a, b, c) - вектор направления прямой, t - параметр.

В нашем случае можно выбрать точку на прямой (0, -1, 0) и получить уравнение проекции:
x = 0 + (4/3)t
y = -1 + (-2/2)t
z = 0 + t.

5) Приводим уравнение проекции к общему виду.
Проекция на плоскость имеет вид x = (4/3)t, y = -1 - t, z = t.
Подставляя x, y и z из проекции в уравнение плоскости x - 3y - z + 8 = 0, получаем:
(4/3)t - 3(-1 - t) - t + 8 = 0,
что можно упростить до:
(4/3)t + 3 + 3t - t + 8 = 0,
(4/3)t + 3t - t + 11 = 0,
(4/3 + 3 - 1)t + 11 = 0,
(13/3)t + 11 = 0,
(13/3)t = -11,
t = (-11) * (3/13),
t = -33/13.

Подставляя найденное значение t в уравнение проекции, получаем координаты точки проекции:
x = (4/3)(-33/13) = -44/13,
y = -1 - (-33/13) = -13/13,
z = -33/13.

Итак, уравнение проекции прямой на плоскость x - 3y - z + 8 = 0 имеет вид:
x = -44/13,
y = -13/13,
z = -33/13.

Надеюсь, эта развернутая и детальная информация помогла тебе понять, как найти уравнение проекции прямой на заданную плоскость. Если у тебя возникли еще вопросы, не стесняйся задавать их!