Найти точку, симметричную точке А(3;5;-3) относительно плоскости, проходящей через точки В(4;0;0), С(0;2;0), D(0;0;-4).

Чтобы найти точку, симметричную точке А относительно плоскости, нужно воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Найдите вектор нормали к плоскости
Чтобы найти вектор нормали к плоскости, нужно взять векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Вектор нормали будет перпендикулярен плоскости. Возьмем два вектора:

Вектор ВВС, который можно найти как разность векторов B и C: ВВС = (4-0, 0-2, 0-0) = (4, -2, 0)
Вектор ВVD, который можно найти как разность векторов B и D: ВVD = (4-0, 0-0, 0-(-4)) = (4, 0, 4)
Теперь найдем векторное произведение этих векторов, чтобы получить вектор нормали к плоскости. Для этого воспользуемся формулой:
Нормальный вектор = ВВС x ВVD

Вычисляя векторное произведение, получим:
Нормальный вектор = (4, -2, 0) x (4, 0, 4) = (8, -16, 8)

Шаг 2: Найти уравнение плоскости
Уравнение плоскости можно записать в виде AX + BY + CZ + D = 0, где (X, Y, Z) - координаты точки, лежащей в плоскости, а (A, B, C) - координаты вектора нормали к плоскости.

Используем полученный ранее нормальный вектор и точку B(4, 0, 0), чтобы найти уравнение плоскости.

Подставим координаты точки B и вектор нормали в уравнение плоскости:
8x - 16y + 8z + D = 0

Подставим координаты точки B(4, 0, 0):
8 * 4 - 16 * 0 + 8 * 0 + D = 0
32 + D = 0
D = -32

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид:
8x - 16y + 8z - 32 = 0

Шаг 3: Найдите вектор АВ и используйте его для нахождения точки Р
Вектор АВ можно найти как разность векторов A и B: АВ = (3-4, 5-0, -3-0) = (-1, 5, -3)

Пусть точка Р имеет координаты (x, y, z). Тогда вектор РА можно записать как (-x, -y, -z), а вектор АР как (x - 3, y - 5, z + 3).

Чтобы найти точку Р, симметричную точке А относительно плоскости, подставим вектор АР в уравнение плоскости:
8(x - 3) - 16(y - 5) + 8(z + 3) - 32 = 0

Раскроем скобки и упростим уравнение:
8x - 24 - 16y + 80 + 8z + 24 - 32 = 0
8x - 16y + 8z + 48 = 0

Теперь приравняем коэффициенты при переменным в полученном уравнении и в векторе АР:
8x = - x
-16y = -y
8z = -z
48 = -3

Решим полученную систему уравнений:
8x = - x
=> 9x = 0
=> x = 0

-16y = -y
=> -15y = 0
=> y = 0

8z = -z
=> 9z = 0
=> z = 0

48 = -3 (неверное уравнение, так как 48 не равно -3)

Таким образом, точка Р(0, 0, 0) является симметричной точкой А(3, 5, -3) относительно плоскости, проходящей через точки B(4, 0, 0), C(0, 2, 0), D(0, 0, -4).