Найти точки экстремума функции y=x/4+4/x

С подробным решением!

найдем производную. приравняем к нулю. найдем критические точки, разобьем ими нулем числовую ось на интервалы, установим знаки производной при переходе через критические точки, если знак меняется с плюса на минус, то это точка максимума, если с минуса на плюс. то точка  минимума.

y'=(x/4+4/x)'=1/4-4/x²=(х²-4)/4х²=(х-2)(х+2)/4х²

-202

+                  -          -             +

т.о., х=-2 - точка максимума, х=2- точка минимума.

Чтобы найти точки экстремума функции y = x/4 + 4/x, сначала необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

1. Найдем производную функции y по переменной x. Для этого используем правило дифференцирования сложной функции:
y' = (d/dx)(x/4 + 4/x) = (1/4) - (4/x^2)
Заметим, что второе слагаемое это производная от 4/x по переменной x.

2. Приравниваем производную y' к нулю и решаем уравнение:
(1/4) - (4/x^2) = 0
Умножая обе части уравнения на 4x^2, получим:
x^2 - 16 = 0

3. Решим полученное квадратное уравнение:
x^2 = 16
x = ±√16
x = ±4

4. Теперь найдем значения функции y в найденных точках x = 4 и x = -4:
Для x = 4:
y = 4/4 + 4/4 = 1 + 1 = 2

Для x = -4:
y = -4/4 + 4/-4 = -1 - 1 = -2

5. Итак, точки экстремума функции y=x/4+4/x это (4, 2) и (-4, -2).

Таким образом, после детального решения, мы нашли две точки экстремума функции y = x/4 + 4/x: (4, 2) и (-4, -2).