1. Алгебра
  2. Найти решения уравнений,

Найти решения уравнений, удовлетворяющие условиям

(x-y)dx+xdy=0 , если y=0 при x=1

vakla vakla    2   02.06.2021 22:56    1

Ответы
ИльяФеоктистов ИльяФеоктистов  02.07.2021 23:59

(x-y)dx+xdy=0

(x-y)+x\cdot\dfrac{dy}{dx} =0

x-y+xy'=0

1-\dfrac{y}{x} +y'=0

y'-\dfrac{1}{x}\cdot y=-1

Замена. Решение ищем в виде произведения двух ненулевых функций:

y=uv

y'=u'v+uv'

Получаем уравнение:

u'v+uv'-\dfrac{1}{x}\cdot uv=-1

Предположим, что сумма первого и третьего слагаемого равна нулю:

u'v-\dfrac{1}{x}\cdot uv=0

u'-\dfrac{1}{x}\cdot u=0

\dfrac{du}{dx} =\dfrac{u}{x}

\dfrac{du}{u} =\dfrac{dx}{x}

\int\dfrac{du}{u} =\int\dfrac{dx}{x}

\ln |u| = \ln |x|

u=x

Тогда второе слагаемое равно правой части:

uv'=-1

xv'=-1

x\cdot\dfrac{dv}{dx} =-1

dv =-\dfrac{dx}{x}

\int dv =-\int \dfrac{dx}{x}

v =-\ln |x|+\ln C

v =\ln \dfrac{C}{x}

Тогда решение:

y=uv=x\ln \dfrac{C}{x}

Найдем частное решение. Подставим в общее уравнение условия y=0, x=1:

0=1\cdot\ln \dfrac{C}{1}

0=\ln C

C=1

Частное решение имеет вид:

y=x\ln \dfrac{1}{x}

y=-x\ln x

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
khana3 khana3  06.04.2019 16:43
Проверить функции на четность и нечетность, подробно​...
IAlisaI IAlisaI  06.04.2019 16:40
Решите уравнение 11/4=(640+x)/640 ​...
Horse3333 Horse3333  06.04.2019 16:37
Установіть відповідність між даними нерівностями з модулем (1 – 4 ) та їх розв язками (а – д ) 1 | х – с | а, а 0 а (с–а; с+а) 2 | х – с | а, а 0 б [с–а; с+а] 3 | х – с...
assimie assimie  06.04.2019 16:35
Решите систему уравнений: 5х-(х-у)/5=11 2у-(х+у)/3=11. ​...
Zashas1 Zashas1  06.04.2019 16:27
Опубликовано 09.01.2019 16: 01 установіть відповідність між даними нерівностями з модулем (1 – 4 ) та їх розв язками (а – д ) 1 | х – с | а, а 0 а (с–а; с+а) 2 | х – с...
КостяТрестьян КостяТрестьян  06.04.2019 16:24
10 класс! тригонометрические формулы! ! sin (α-β) -2cosαsinβ, если α+β=π...
yuliasitnikova yuliasitnikova  17.05.2019 22:00
4.пользуясь свойствами функции y=ctg x,сравните числа: 1)ctg 3° и ctg 5° 2)сtg π/10 дробью и сtg 13π/10 дробью 3)сtg(-1) и сtg(-1,2)...
katyasasha1415 katyasasha1415  17.05.2019 22:00
Решите уравнение: (дробь) -3х/7 + 3(х- (дробь)2/7)+11= (дробь) -7/2х+3(х+1)...
ppapsd ppapsd  17.05.2019 20:20
Решить неравенство [tex]\sqrt{x} \ \textgreater \ \sqrt{2x-3}[/tex]...
whale66666 whale66666  17.05.2019 22:00
Нужно! хотя бы одно ! 1) найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии: -21 -18 2)найдите сумму сорока первых членов последовательности (bn) заданной формулой...

Популярные вопросы