Найти расстояние между фокусами эллипса\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1

Alisa1Karimova Alisa1Karimova    1   04.12.2019 23:56    5

Ответы
KatkatamailRu KatkatamailRu  10.10.2020 18:30

\dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{5^2}=1\\\\ \dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{4^2}=1

Здесь параметры a = 5 и b = 4.

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

a² = b² + c²

c² = a² - b² = 5² - 4² = 9

Откуда c = 3

Расстояние между фокусами: 2c = 2 * 3 = 6

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
topwkolnik topwkolnik  10.10.2020 18:30

Каноническое уравнение, задающее эллипс, выглядит так:

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1

Перепишем уравнение эллипса, поменяв местами параметры a и b:

\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1\\\\\dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{4^2}=1

При этом мы получим конгруэнтный эллипс, только повёрнутый в системе координат на 90° (конгруэнтность следует из симметричности канонического уравнения). Поэтому он будет иметь тот же эксцентриситет и то же фокальное расстояние.

Найдём эксцентриситет:

e=\sqrt{1-\dfrac{4^2}{5^2}}=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\dfrac{3}{5}

Найдём фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами):

c=ae=5 \cdot \dfrac{3}{5}=3

Тогда расстояние между фокусами в два раза больше: 3 \cdot 2=6.

ответ: 6 ед.

На чертеже изображён данный эллипс. F_1 и F_2 — его фокусы.


Найти расстояние между фокусами эллипса<img src=" />
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра