Найти промежутки возрастания и убывания. у=2х-3/х-2​

Щас ещё отправилю........ Отв X э R

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам необходимо проанализировать знак её производной. Для этого сначала найдём производную функции.

Пусть у = f(x) = (2x - 3) / (x - 2).

Для нахождения производной f'(x) упростим сначала функцию, раскрыв знаменатель:

у = (2x - 3) / (x - 2)
у = (2x - 4 + 1) / (x - 2)
у = ((2x - 4) + 1) / (x - 2)
у = (2(x - 2) + 1) / (x - 2)
у = 2 + 1 / (x - 2)

Теперь найдём производную функции по определению:

f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

где lim(h -> 0) обозначает предел функции, когда h стремится к 0.

f'(x) = lim(h -> 0) [((2(x + h) - 4) + 1) / (x + h - 2) - (2(x - 2) + 1) / (x - 2)] / h

Приведём общий знаменатель:

f'(x) = lim(h -> 0) [(2(x + h) - 4)(x - 2) - (2(x - 2) + 1)(x + h - 2)] / ((x + h - 2)(x - 2)) / h

Раскроем скобки и упростим выражение:

f'(x) = lim(h -> 0) [2x^2 + 2hx - 4x - 4h - 4x + 8 - 2x^2 + 4x + 2 + 2hx - 4h - 2x - 2h] / ((x + h - 2)(x - 2)) / h
f'(x) = lim(h -> 0) [4x - 2x - 2] / ((x + h - 2)(x - 2)) / h
f'(x) = lim(h -> 0) [2x - 2] / ((x + h - 2)(x - 2)) / h
f'(x) = (2x - 2) / (x^2 - xh - 2x + hx - 2h - 2x + 4) / h
f'(x) = (2x - 2) / (x^2 - 4) / h
f'(x) = (2x - 2) / h / (x^2 - 4)

Теперь найдём предел при h -> 0:

f'(x) = (2x - 2) / (x^2 - 4) / h

Таким образом, f'(x) = (2x - 2) / (x^2 - 4).

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, мы должны изучить знак производной на интервалах, где она существует и не равна 0.

Пусть f'(x) > 0. Это означает, что функция возрастает на данном интервале.
f'(x) = (2x - 2) / (x^2 - 4) > 0

Анализируем знак числителя и знаменателя. Знаменатель (x^2 - 4) всегда положителен, так как является квадратом и не равен 0.

Решим неравенство числителя (2x - 2) > 0:
2x > 2
x > 1

Таким образом, функция возрастает на интервале (1, +∞).

Пусть f'(x) < 0. Это означает, что функция убывает на данном интервале.
f'(x) = (2x - 2) / (x^2 - 4) < 0

Анализируем знак числителя и знаменателя. Знаменатель (x^2 - 4) всегда положителен, так как является квадратом и не равен 0.

Решим неравенство числителя (2x - 2) < 0:
2x < 2
x < 1

Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, 1).

Итак, промежутки возрастания функции у = (2x - 3) / (x - 2) - (1, +∞), а промежутки убывания - (-∞, 1).