Найти промежутки возрастания и убывания

Находим производную частного

f'(x)=((x^2+5x)/(x-4))'=((2x+5)(x-4)-(x^2+5x)*1)/(x-4)^2

Приравниваем дробь нулю. Числитель равен нулю, знаменатель не равен

2x^2+5x-8x-20-x^2-5x=0

x≠4

Решаем кв. уравнение

2x^2-8x-20=0

D=144

x1=-2

x2=10

Находим знак производной на участках:

(-∞; -2) f'(x)>0 функция возрастает

(-2;4[ f'(x)<0 функция убывает

х=4 точка разрыва

]4;10) f'(x)<0 функция убывает

(10:+∞) f'(x)>0 функция возрастает

см картинку