Найти производную данной функции и вычисить ее значение в данной точке х0?

а)f(x)= $\sqrt{6x+7$ ; х0=3
б)f(x)= $cos^{4} x$ ; х0= $\frac{\pi}{4}$

Ответы

imrangaraev 21.08.2020 19:57

$1)\; \; f(x)=\sqrt{6x+7}f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{6x+7}}\cdot 6=\frac{3}{\sqrt{6x+7}}\\\\y'(3)=\frac{3}{\sqrt{18+7}}=\frac{3}{5}$

$2)\; \; f(x)=cos^4x\\\\f'(x)=4\, cos^3x\cdot (cosx)'=4cos^3x\cdot (-sinx)=-4\, cos^3x\cdot sinx\\\\f'(\frac{\pi}{4})=-4\cdot cos^3\frac{\pi}{4}\cdot sin\frac{\pi}{4}=-4\cdot (\frac{\sqrt2}{2})^3\cdot \frac{\sqrt2}{2}=-4\cdot (\frac{\sqrt2}{2})^4=-4\cdot \frac{4}{16}=-1$

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

DeniSNok 21.08.2020 19:57

ответ и решение во вложении

$Найти производную данной функции и вычисить ее значение в данной точке х0? а)f(x)=[tex]\sqrt{6x+7[/$

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

syropyatovkoce 18.01.2024 16:21

а) Для нахождения производной функции f(x)= $\sqrt{6x+7}$ , мы воспользуемся правилом дифференцирования функции $y=\sqrt{x}$ , где у нас x заменяется на $6x+7$ .

Шаг 1: Найдем производную функции $\sqrt{x}$ :
$y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Шаг 2: Заменим x на $6x+7$ в производной функции $\sqrt{x}$ :
$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{6x+7}}$

Шаг 3: Теперь вычислим значение производной функции в точке x0=3:
$f'(3)=\frac{1}{2\sqrt{6(3)+7}}=\frac{1}{2\sqrt{25}}=\frac{1}{2 \cdot 5}=\frac{1}{10}$

Таким образом, производная функции $f(x)=\sqrt{6x+7}$ в точке x0=3 равна $\frac{1}{10}$ .

б) Найдем производную функции f(x)= $cos^{4} x$ с помощью правила дифференцирования степенной функции.

Шаг 1: Применим правило дифференцирования для степенной функции:
$y'= n \cdot (cos\:x)^{n-1} \cdot (-sin\:x)$

Шаг 2: Заменим n на 4 и получим производную функции f(x)= $cos^{4} x$ :
$f'(x) = 4 \cdot (cos\:x)^{4-1} \cdot (-sin\:x) = 4 \cdot cos^{3} x \cdot (-sin\:x)$

Шаг 3: Теперь вычислим значение производной функции в точке x0= $\frac{\pi}{4}$ :
$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4 \cdot cos^{3} \left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot (-sin\left(\frac{\pi}{4}\right))$

Используем известные значения cos( $\frac{\pi}{4}$ ) и sin( $\frac{\pi}{4}$ ):
$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^{3} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

Упрощаем выражение:
$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = (-\frac{4 \cdot \sqrt{2}^{3}}{2^{3}}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{4}}$
$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -4 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{4}}$
$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{16}$
$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, производная функции f(x)= $cos^{4} x$ в точке x0= $\frac{\pi}{4}$ равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ .