Найти предел (г,д,е) используя теоремы о замечательных пределах и их следствия

ответ: г) e³; д) ∞; е) 0.

Объяснение:

г) Данное выражение при x⇒0 представляет собой неопределённость вида 1^∞. Так как ctg²(x)=1/tg²(x), то это выражение приводится к виду [1+3*tg²(x)]^[1/tg²(x)]. Если положить 3*tg²(x)=t, то при x⇒0 t⇒0 и тогда это выражение принимает вид (1+t)^(3/t)=[(1+t)^(1/t)]³. Но предел выражения в квадратных скобках есть ни что иное, как второй замечательный предел, равный e. Поэтому искомый предел равен e³.

д) Обозначим искомый предел через А. Данное выражение при x⇒0 представляет собой неопределённость вида 0/0.

1) Прежде всего, умножим числитель и знаменатель дроби на (√(x+1)+1). После этого дробь примет вид 1/[(√(x+1)+1]*x/[ln(cos π*x)] . Предел первого множителя при x⇒0 равен 1/2, поэтому A=1/2*lim x/[ln(cos π*x)]=1/(2*π)*lim π*x/[ln(cos π*x)]. Полагая π*x=t и замечая, что при x⇒0 t⇒0, перепишем это выражение в виде A=1/(2*π)*lim t/[ln(cos t)]. А так как lim t/[ln(cos t)]=1/lim [ln(cos t)]/t, то, полагая lim [ln(cos t)]/t=B, получаем выражение A=1/(2*π*B).

2) Вычислим теперь предел B. Положим C=e^B=e^lim [ln(cos t)]/t=lim e^[ln(cos t)]/t=lim(cos t)^(1/t). Так как cos t=1-2*sin²(t/2), а бесконечно малую величину t, используя первый замечательный предел, можно заменить эквивалентной бесконечно малой sin t, то при вычислении предела C выражение (cos t)^(1/t) можно записать в виде [1-2*sin²(t/2)]^(1/sin t). И так как sin t=2*sin(t/2)*cos(t/2), то показатель степени можно записать в виде 1/[2*sin(t/2)*cos(t/2)]=-sin(t/2)/[-2*sin²(t/2)*cos(t/2)]. Тогда всё выражение можно записать в виде {[1-2*sin²(t/2)]^[-1/2*sin²(t/2)]}^[-tg(t/2)]. Но предел выражения в скобках { } есть ни что иное, как второй замечательный предел, равный e. А так как при t⇒0 -tg(t/2)⇒0, то С=e^0.

3) Из равенства C=e^B=e^0 находим B=0. Отсюда искомый предел A=1/(2*π*B)=1/0=∞.    

е) Данное выражение при x⇒∞ представляет собой неопределённость вида ∞-∞. Представим его в виде [x³-∛(x³+5)]/1 и умножим числитель и знаменатель получившейся дроби на [x²+x*∛(x³+5)+∛(x³+5)²]. После этого выражение примет вид -5/[x²+x*∛(x³+5)+∛(x³+5)²]. Так как знаменатель дроби при x⇒∞ стремится к ∞, то искомый предел равен -5/∞=0.