Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой
x²+y²≤4x-4y-6
x≥1

Для решения данной задачи нужно проанализировать условие и понять, как выглядит фигура, заданная системой неравенств.

Условие системы неравенств:
1) x² + y² ≤ 4x - 4y - 6
2) x ≥ 1

Начнем с первого неравенства. Оно задает уравнение окружности на плоскости с центром в точке (2,2) и радиусом 4:

(x - 2)² + (y + 2)² ≤ 20

Мы можем решить это уравнение для y:

y + 2 ≤ √(20 - (x - 2)²) (1)

Далее, учитывая второе неравенство x ≥ 1, мы замечаем, что решение y будет ограничено определенными значениями, так как y всегда будет отрицательным или равным нулю.

Итак, объединим условия (1) и x ≥ 1:

y + 2 ≤ √(20 - (x - 2)²) (2)
y ≤ √(20 - (x - 2)²) - 2 (3)

Теперь мы можем построить график этой фигуры на координатной плоскости. Но для того, чтобы найти площадь этой фигуры, нам понадобится использовать интегралы.

Для вычисления площади фигуры, заданной функцией y=f(x) на интервале [a, b], мы можем использовать следующую формулу:

Площадь = ∫[a,b] f(x) dx

Так как мы знаем, что площадь всегда положительна, мы можем воспользоваться формулой:

Площадь = ∫[a,b] |f(x)| dx

Теперь мы должны разделить интервал на части, где функция меняет свое поведение. Заметим, что функция y=y(x) будет изменяться, когда x=1 и x=6.

Для удобства, разобъем наше решение на две части:
I. x на интервале [1,2]
II. x на интервале [2,6]

I. x на интервале [1,2]:
Мы можем использовать формулу площади для этого интервала:

Площадь I = ∫[1,2] |√(20 - (x - 2)²) - 2| dx

Воспользуемся заменой переменной, чтобы упростить интеграл. Пусть u = x - 2. Тогда, dx = du.

После замены получим:

Площадь I = ∫[1,2] |√(20 - u²) - 2| du

Интеграл можно решить с использованием геометрической интерпретации. Заметим, что фигура, заданная на интервале [1,2], представляет собой верхнюю половину окружности с центром в точке (0, -2) и радиусом 4.

Таким образом, площадь I равна половине площади этой окружности:

Площадь I = (1/2) * π * 4²/2
= 4π

II. x на интервале [2,6]:
Мы вновь используем формулу площади для этого интервала:

Площадь II = ∫[2,6] |√(20 - (x - 2)²) - 2| dx

Аналогично, сделаем замену переменной: u = x - 2, dx = du.

Интеграл сводится к:

Площадь II = ∫[0,4] |√(20 - u²) - 2| du

Мы видим, что фигура, заданная на интервале [2,6], представляет собой область между верхней половиной окружности с центром в точке (0, -2) и радиусом 4, и прямой x = 6.

Таким образом, площадь II равна площади этой области:

Площадь II = (3/4) * π * 4² - (4 - 2) * (6 - 2)
= 9π - 8

Теперь мы можем вычислить общую площадь фигуры:

Площадь = Площадь I + Площадь II
= 4π + 9π - 8
= 13π - 8

Ответ: Площадь фигуры, заданной системой неравенств, равна 13π - 8.