Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. 1. y=2+x², y=3 2. y=x², y=2-x 3. y=8x-x²-2, y=x+8 4. y=x²+2x+2, y=2-4x-x²

Добрый день! Я рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь вам решить задачу.

1. Найдем точки пересечения линий y=2+x² и y=3:
Подставим y=3 в уравнение y=2+x²:
3 = 2 + x²
x² = 1
x = ±1
Значит, точки пересечения равны (-1, 3) и (1, 3).

Построим график этих двух линий:
- (1, 3)
|
|
--|---- y = 3
|
|
-1 | (1, 2)
|
|____________________________________ x

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно вычислить интеграл от y=2+x² до y=3 по оси x в пределах от -1 до 1.

Для нахождения площади, возьмем интеграл от y=2+x² до y=3: ∫[from -1 to 1] (3 - (2 + x²)) dx.

Раскроем скобки и упростим выражение:
∫[from -1 to 1] (3 - 2 - x²) dx
∫[from -1 to 1] (1 - x²) dx

Вычислим этот интеграл поэтапно:
∫[from -1 to 1] 1 dx = x |_[from -1 to 1] = 1 - (-1) = 2

∫[from -1 to 1] -x² dx = -x³/3 |_[from -1 to 1] = -1/3 - (-1/3) = 0

Теперь найдем площадь фигуры, вычтем результаты второго шага из первого:
2 - 0 = 2

Поэтому, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2+x² и y = 3, равна 2.

2. Найдем точки пересечения линий y = x² и y = 2-x:

Подставим y=x² в уравнение y=2-x:

x² = 2 - x
x² + x - 2 = 0
(x + 2)(x - 1) = 0

Значит, точки пересечения равны (-2, 4) и (1, 1).

Построим график этих двух линий:
4 |
| (1, 1)
-2|
| y=x²
---|---------------------
| y = 2-x
|
|_____________________________________ x

В данном случае, фигура, ограниченная заданными линиями, имеет две раздельные части.
Чтобы найти площадь каждой из этих частей, нужно вычислить интеграл от y=x² до y=2-x по оси x в соответствующих пределах.

Сначала рассмотрим значение y=x² при x ≤ -2. Площадь этой части равна:
∫[from -∞ to -2] (2 - (-x)) dx

Проведем вычисления:
∫[from -∞ to -2] (2 + x) dx = (2x + x²/2) |_[from -∞ to -2] = (2(-2) + (-2)²/2) - (2(-∞) + (-∞)²/2) = -4 + 2 - 0 = -2

Теперь рассмотрим значение y = 2-x при x ≥ 1. Площадь этой части равна:
∫[from 1 to ∞] (2 - (-x)) dx

Проведем вычисления:
∫[from 1 to ∞] (2 + x) dx = (2x + x²/2) |_[from 1 to ∞] = (2∞ + (∞)²/2) - (2(1) + (1)²/2) = ∞ - 1 = ∞

В итоге, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² и y = 2-x, равна -2 + ∞ = ∞.

3. Найдем точки пересечения линий y = 8x - x² - 2 и y = x + 8:

Подставим y=x+8 в уравнение y = 8x - x² - 2:

x + 8 = 8x - x² - 2
x² - 7x - 6 = 0
(x - 6)(x + 1) = 0

Значит, точки пересечения равны (6, 14) и (-1, 7).

Построим график этих двух линий:
14 |
| (6, 14)
|
-- |------------
| y = 8x - x² - 2
|
7 |
|
| y = x + 8
|_______________________________ x

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно вычислить интеграл от y = 8x - x² - 2 до y = x + 8 по оси x в пределах от -1 до 6.

Для нахождения площади, возьмем интеграл от y = 8x - x² - 2 до y = x + 8: ∫[from -1 to 6] ((x + 8) - (8x - x² - 2)) dx.

Раскроем скобки и упростим выражение:
∫[from -1 to 6] (x + 8 - 8x + x² + 2) dx
∫[from -1 to 6] (x² - 7x + 10) dx

Вычислим этот интеграл поэтапно:
∫[from -1 to 6] x² dx = x³/3 |_[from -1 to 6] = 6³/3 - (-1)³/3 = 72/3 + 1/3 = 73/3

∫[from -1 to 6] -7x dx = -7x²/2 |_[from -1 to 6] = -7(6)²/2 - (-7(-1)²/2) = -7(36)/2 + 7/2 = -252/2 + 7/2 = -245/2

∫[from -1 to 6] 10 dx = 10x |_[from -1 to 6] = 10(6) - 10(-1) = 60 + 10 = 70

Теперь найдем площадь фигуры, вычтем результаты второго и третьего шагов из первого:
73/3 - (-245/2) + 70 = 73/3 + 245/2 + 70 = 490/6 + 735/6 + 420/6 = 1645/6 + 420/6 = 2065/6

Поэтому, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 8x - x² - 2 и y = x + 8, равна 2065/6.

4. Найдем точки пересечения линий y = x² + 2x + 2 и y = 2 - 4x - x²:

Подставим y = x² + 2x + 2 в уравнение y = 2 - 4x - x²:

x² + 2x + 2 = 2 - 4x - x²
2x + 4x = 0
6x = 0
x = 0

Значит, точка пересечения равна (0, 2).

Построим график этих двух линий:
2|
|
| (0, 2)
--|------------------------
| y = x² + 2x + 2
|
-2|
|
|_______________ x

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно вычислить интеграл от y = x² + 2x + 2 до y = 2 - 4x - x² по оси x в пределах от -∞ до 0.

Для нахождения площади, возьмем интеграл от y = 2 - 4x - x² до y = x² + 2x + 2: ∫[from -∞ to 0] ((x² + 2x + 2) - (2 - 4x - x²)) dx.

Раскроем скобки и упростим выражение:
∫[from -∞ to 0] (2 - 2x² + 6x) dx

Вычислим этот интеграл:
∫[from -∞ to 0] 2 dx = 2x |_[from -∞ to 0] = 2(0) - 2(-∞) = 0 - (-∞) = ∞

∫[from -∞ to 0] -2x² dx = -2x³/3 |_[from -∞ to 0] = -2(0)³/3 - (-2(-∞)³/3) = 0 - (-∞) = ∞

∫[from -∞ to 0] 6x dx = 3x² |_[from -∞ to 0] = 3(0)² - (-∞)² = 0 - (-∞) = ∞

Так как в результате вычислений получено значение "∞" для всех трех частей, то площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² + 2x + 2 и y = 2 - 4x - x², равна ∞.

Итак, мы нашли площади фигур, ограниченных заданными линиями:
1. Для фигуры, ограниченной линиями y=2+x² и y=3, площадь равна 2.
2. Для фигуры, ограниченной линиями y=x² и y=2-x, площадь равна ∞.
3. Для фигуры, ограниченной линиями y=8x-x²-2 и y=x+8, площадь равна 2065/6.
4. Для фигуры, ограниченной линиями y=x²+2x+2 и y=2-4x-x², площадь равна ∞.

Надеюсь, я дал вам подробное и понятное объяснение. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, сообщите мне.