Найти область определения и множество значений функции: y=x2 - 3x - 4; y=3-2x-x2; y=1/x-1; y=2+x/x+1 решить, , заранее )

Область определения может иметь ограничения в трех случаях:

1) Если в функции есть дробь, то знаменатель не может быть равен 0.

2) Если в функции есть корень четной степени, то выражение под ним не может быть меньше 0.

3) Если в функции есть логарифм, то выражение под ним должно быть больше 0, и основание тоже больше 0 и не равно 1.

Теперь решаем сами примеры.

1) y = x^2 - 3x - 4

Ограничений, перечисленных во вступлении, нет, поэтому

Область определения D(X) = R = (-oo; +oo)

Вершина параболы находится в точке M0(x0; y0)

x0 = -b/(2a) = 3/2; y0 = (3/2)^2 - 3*3/2 - 4 = 9/4-9/2-4 = 9/4-18/4-16/4 = -25/4

Ветви параболы направлены вверх, поэтому

Область значений E(Y) = [-25/4; +oo)

2) y = -x^2 - 2x + 3

Ограничений, перечисленных во вступлении, нет, поэтому

Область определения D(X) = R = (-oo; +oo)

Вершина параболы находится в точке M0(x0; y0)

x0 = -b/(2a) = 2/(-2) = -1; y0 = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4

Ветви параболы направлены вниз, поэтому

Область значений E(Y) = (-oo; 4]

3) y = 1/(x-1)

Здесь ограничение по 1 пункту: дробь. Знаменатель x ≠ 1, поэтому

Область определения: D(X) = (-oo; 1) U (1; +oo)

При х, стремящемся к бесконечно большим величинам, y стремится к 0.

Область значений: E(Y) = (-oo; 0) U (0; +oo)

4) y = (2+x)/(x+1) = (x+1+1)/(x+1) = 1 + 1/(x+1)

Здесь тоже ограничение по 1 пункту: дробь. Знаменатель x ≠ -1, поэтому

Область определения: D(X) = (-oo; -1) U (-1; +oo)

При х, стремящемся к бесконечно большим величинам, y стремится к 1.

Область значений: E(Y) = (-oo; 1) U (1; +oo)