Найти наименьшее значение функции y=x^2+256/x на отрезке [1;25]

Для решения данной задачи, мы должны найти наименьшее значение функции y на указанном отрезке [1;25]. Для этого выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем производную данной функции.
Для нахождения точек минимума функции необходимо найти точки, в которых производная функции равна нулю, либо не существует.
Будем использовать правило дифференцирования для функций, имеющих вид f(x) = g(x)/h(x), где g(x) и h(x) - функции, чтобы найти производную функции y=x^2+256/x.

Для нашей функции g(x) = x^2 и h(x) = 256/x, производную найдем по формуле (g(x)*h'(x) - g'(x)*h(x)) / h(x)^2:

g'(x) = 2x (производная функции x^2)
h'(x) = -256/x^2 (производная функции 256/x)
h(x)^2 = (256/x)^2 = 256^2/x^2

Производная функции y=x^2+256/x будет равна:
f'(x) = (2x * 256/x^2 - 2x^2 * (-256/x^2)) / (256^2/x^2)
= (512 - 512x^4) / 256^2

Упростим выражение:
f'(x) = (512 - 512x^4) / 65536
f'(x) = (1 - x^4) / 128

Шаг 2: Найдем значения x, при которых производная равна нулю либо не существует.
Для этого прировняем производную f'(x) к нулю и решим уравнение:
(1 - x^4) / 128 = 0
1 - x^4 = 0
x^4 = 1
x = 1, либо x = -1 (так как корень четвертой степени равен корням первой степени)

Исходя из заданного отрезка [1;25], мы должны исключить значение -1, так как оно не входит в данный интервал.

Шаг 3: Найдем значения функции y при найденных значениях x.
Для этого подставим x = 1 в исходную функцию:
y = 1^2 + 256/1
y = 1 + 256
y = 257

Таким образом, при x = 1, значение функции y равно 257.

Шаг 4: Определим значения функции y на концах заданного отрезка.
Подставим x = 1 и x = 25 в исходную функцию, чтобы найти значения функции на концах отрезка [1;25]:
Для x = 1:
y = 1^2 + 256/1
y = 1 + 256
y = 257
Для x = 25:
y = 25^2 + 256/25
y = 625 + 10.24
y = 635.24

Таким образом, значение функции y на концах отрезка [1;25] равно 257 и 635.24 соответственно.

Шаг 5: Сравним значения функции y в найденных точках.
Мы получили значение функции y равное 257 при x = 1 и значение функции y равное 635.24 при x = 25. Так как 257 меньше значения 635.24, значит наименьшее значение функции y на отрезке [1;25] будет равно 257.

Ответ: Наименьшее значение функции y=x^2+256/x на отрезке [1;25] равно 257.