Найти наибольшее и наименьшее значение функции: y = 3x4 + 4x3+1 на отрезке [-2, 1].

Y`=(3x⁴+4x³+1)`=0      x∈{-2;1]
12x³+12x²=0
x²(x+1)=0
x₁=0   x₂=-1  ⇒
y(0)=3*0⁴+4*0³+1=1
y(-1)=3*(-1)⁴+4*(-1)³+1=0=ymin
y(-2)=3*(-2)⁴+4(-2)³+1=48-32+1=17=ymax
y(1)=3*1⁴+4*1³+1=8.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [-2, 1], нужно выполнить следующие шаги:

1. Нам нужно найти значения функции на концах отрезка [-2, 1]: подставим значения -2 и 1 вместо x в уравнение функции y = 3x^4 + 4x^3 + 1.

При x = -2:
y = 3*(-2)^4 + 4*(-2)^3 + 1
y = 3*16 + 4*(-8) + 1
y = 48 - 32 + 1
y = 17

При x = 1:
y = 3*1^4 + 4*1^3 + 1
y = 3*1 + 4*1 + 1
y = 3 + 4 + 1
y = 8

Таким образом, на концах отрезка [-2, 1] значения функции y равны 17 и 8 соответственно.

2. Далее, нужно найти значения функции в критических точках. Для этого найдем точки, где производная функции равна 0.

Для нахождения производной функции, найдем сначала производные отдельных слагаемых, а затем их суммируем:

y = 3x^4 + 4x^3 + 1

Производная от первого слагаемого:
d(3x^4)/dx = 12x^3

Производная от второго слагаемого:
d(4x^3)/dx = 12x^2

Таким образом, производная функции:
dy/dx = 12x^3 + 12x^2

Теперь найдем значения x, при которых производная равна 0:
12x^3 + 12x^2 = 0
12x^2(x + 1) = 0

Из этого уравнения получаем два корня:
x = 0 и x = -1.

3. Теперь найдем значения функции y при x = 0 и x = -1:
Подставляем x = 0 в уравнение функции:
y = 3*0^4 + 4*0^3 + 1
y = 1

Подставляем x = -1:
y = 3*(-1)^4 + 4*(-1)^3 + 1
y = 3*1 + 4*(-1) + 1
y = 3 - 4 + 1
y = 0

Итак, значением функции при x = 0 является 1, а при x = -1 - 0.

4. Для ответа на вопрос о наибольшем и наименьшем значении функции на отрезке [-2, 1], нужно сравнить все полученные значения: 17, 8, 1 и 0.

Итак, наибольшее значение функции на отрезке [-2, 1] равно 17, а наименьшее значение равно 0.

Графическое представление функции позволит наглядно увидеть, как она меняется на отрезке [-2, 1] и подтвердить полученные значения: наибольшее значение 17 располагается выше графика, а наименьшее значение 0 - ниже графика.