Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 1 на отрезке [-1:2]
Распишите подробно

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 1 на отрезке [-1:2], нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем значения функции на концах отрезка [-1:2].
- Подставим x = -1 в функцию: f(-1) = 2*(-1)^3 + 3*(-1)^2 - 1
Вычислим значение: f(-1) = -2 + 3 - 1 = 0
- Подставим x = 2 в функцию: f(2) = 2*(2)^3 + 3*(2)^2 - 1
Вычислим значение: f(2) = 16 + 12 - 1 = 27

Таким образом, значение функции на концах отрезка [-1:2] равно 0 и 27.

Шаг 2: Найдем критические точки функции.
- Для этого найдем производную функции f'(x).
f'(x) = 6x^2 + 6x
- Найдем значения x, при которых производная равна нулю:
6x^2 + 6x = 0
Факторизуем выражение: 6x(x + 1) = 0
Получаем два значения: x = 0 и x = -1.

Таким образом, критические точки функции находятся при x = 0 и x = -1.

Шаг 3: Определим знаки производной на отрезках [-1:0] и [0:2].
- Возьмем произвольное значение x из интервала [-1:0], например, x = -0.5. Подставим его в производную:
f'(-0.5) = 6*(-0.5)^2 + 6*(-0.5) = 3 - 3 = 0
Значение производной равно 0, это говорит о том, что функция имеет экстремум в этой точке.
- Возьмем произвольное значение x из интервала [0:2], например, x = 1. Подставим его в производную:
f'(1) = 6*(1)^2 + 6*(1) = 6 + 6 = 12
Значение производной положительно, это говорит о том, что функция возрастает на данном отрезке.

Таким образом, на отрезке [-1:0] функция имеет локальный минимум, а на отрезке [0:2] функция возрастает и не имеет экстремумов.

Шаг 4: Сравним значения функции на концах отрезка [-1:2], найденные критические точки и экстремумы.
- Сравним значения функции на концах отрезка. Найденные ранее значения: f(-1) = 0 и f(2) = 27.
На отрезке [-1:2] функция достигает наибольшего значения 27 и наименьшего значения 0.
- Сравним значения функции в критических точках. Найденные ранее значения: f(-1) = 0 и f(0) = -1.
На отрезке [-1:0] функция достигает наименьшего значения -1.

Таким образом, на отрезке [-1:2] наибольшее значение функции f(x) равно 27 и достигается в точке x = 2. Наименьшее значение функции f(x) равно -1 и достигается в точке x = 0.