Найти корни многочлена X в кубе минус 3 x квадрате минус 18 Икс плюс 40​

Для начала, давайте распишем данный многочлен полностью:
X^3 - 3X^2 - 18X + 40

Чтобы найти корни многочлена, мы можем воспользоваться различными методами. Один из самых популярных методов - метод подстановки.

Шаг 1: Подстановка целых чисел в многочлен

Возможные корни многочлена удовлетворяют следующему условию: для целого числа 'a', если 'a' делит свободный член многочлена (40), то он является возможным корнем.

Итак, чтобы проверить, какие целые числа являются возможными корнями, нужно проверить, какие целые числа делятся на 40. Здесь нам поможет теорема о целочисленных корнях - если 'a' является целым корнем многочлена, то он делит свободный член (40) без остатка.

Разложим 40 на простые множители: 40 = 1 * 2 * 2 * 2 * 5

Исходя из этого, возможные целые корни многочлена: ±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±20, ±40

Шаг 2: Проверка подстановкой

Теперь, чтобы определить, какие из возможных корней являются фактическими корнями, мы можем использовать метод подстановки. То есть, подставляем каждое из возможных значений вместо Х в многочлен и проверяем, является ли значение многочлена равным нулю.

Давайте проверим значения многочлена для каждого из возможных корней:
- Подставим '1' вместо Х: 1^3 - 3(1)^2 - 18 * 1 + 40 = 1 - 3 - 18 + 40 = 20 (не равно 0)
- Подставим '-1' вместо Х: (-1)^3 - 3(-1)^2 - 18 * (-1) + 40 = -1 - 3 + 18 + 40 = 54 (не равно 0)
- Подставим '2' вместо Х: 2^3 - 3(2)^2 - 18 * 2 + 40 = 8 - 12 - 36 + 40 = 0
Таким образом, мы нашли корень многочлена, который равен 2.

Шаг 3: Находим остальные корни

Чтобы найти остальные корни многочлена, мы можем использовать метод деления многочленов. Мы делим исходный многочлен на линейный многочлен (X - 2), что позволит нам найти остальные корни.

Расширенное деление многочленов:
X^2 + X - 20
X - 2 | X^3 - 3X^2 - 18X + 40
- X^3 - 2X^2
--------------
- X^2 - 18X
- X^2 - 2X
------------------
- 16X + 40
- 16X + 32
-----------------
8

Мы получаем многочлен X^2 + X - 20, результат действия расширенного деления. Теперь мы можем решить квадратное уравнение X^2 + X - 20 = 0 .

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Мы можем решить квадратное уравнение с помощью факторизации, формулы квадратного корня или другую методику.

В данном случае, используя формулу квадратного корня, мы можем записать:

X = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 1 и c = -20

X = (-1 ± √(1^2 - 4(1)(-20))) / (2 * 1)
X = (-1 ± √(1 + 80)) / 2
X = (-1 ± √81) / 2
X = (-1 ± 9) / 2

Таким образом, получаем два возможных корня многочлена: X1 = (-1 + 9) / 2 = 8/2 = 4 и X2 = (-1 - 9) / 2 = -10/2 = -5.

Итак, корни многочлена X^3 - 3X^2 - 18X + 40 равны: X = 2, 4, -5.