Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимос

Ответы

1298school

1298school 24.11.2020 13:33

$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(x+4)^n}{5n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n(x+4)^n$

$\dfrac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{5n+1}}=1\\ \Rightarrow R=1$

А значит интервал сходимости $x\in(-5;-3)$

Исследуем на концах:

$x=-3\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n(-3+4)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{5n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{\frac{1}{n}}=\dfrac{1}{5}, \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}$ расходится, как гармонический - а тогда, согласно предельному признаку сравнения, $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ также расходится

$x=-5\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n(-5+4)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{5n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^nc_n$

1) c_n0

2) $\left(\dfrac{1}{5n+1}\right)'=-\dfrac{5}{(5n+1)^2}$ , а значит $\{c_n\}$ монотонно убывает

3) $\lim\limits_{n\to\infty} c_n=0$

А тогда, по признаку Лейбница, $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^nc_n$ сходится

А значит ряд сходится на [-5;-3)

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра

smirnovadashuta

smirnovadashuta 15.05.2020 10:33

Реши уравнение x2=441Чему равен х1 и х2? ...

kostyasmirnov

kostyasmirnov 15.05.2020 10:32

Издатель обратился в отдел маркетинга, чтобы выяснить предполагаемый с на книгу. Исследования показали:С на книгу на буд.3 года 2000 3000 4000 5000Вероятность 0,1...

МарияЛобачева

МарияЛобачева 15.05.2020 10:32

Побудуйте графіки рівнянь a. −3+0=−15 b. 1,6 = −4,8...

matveiarzhanoff

matveiarzhanoff 15.05.2020 10:32

Побудувати графік функції у = 3х – 2. Чи належить цьому графіку точка В(–12; 38)?...

andryxaxaxa

andryxaxaxa 15.05.2020 10:32

Разложить на множители: 25m 2 – n 2 + 2n – 1 ....

jessicakiska

jessicakiska 15.05.2020 10:32

(a+6) в квадрате -2a(3-2a)у...

66Egor99

66Egor99 15.05.2020 10:31

Реши систему уравнений алгебраического сложения.{5x+y=13x−y=7...

helissieble

helissieble 15.05.2020 10:31

Какие числа являются корнями уравнения 8x^4-10x^2+2=0...

katenkaklimcuk

katenkaklimcuk 15.05.2020 10:31

Доведіть що многочлен x^3-4x-3 не ділиться націло на многочлен x+2...

Adik20061

Adik20061 15.05.2020 10:30

Решить тригонометрическое уравнение...

Популярные вопросы

___ the robbers arrested yesterday 1)Is,2) was, 3)are,4)were...
1

(не)новый сюжет ,цитаты (не)проверены , далеко (не)верное решение...
3

ХЭЛПППП Join two sentences with a suitable Participial construction....
1

Поле прямокутної форми має довжину 200м і ширину 73% від довжини....
3

Что для Казакова как писателя было новым при написании рассказов?...
2

решить по геометрии 7 класс номер. Если что там в дано написано....
3

3. Поставьте знак ударения в следующих словах апостроф баловать...
3

Складіть невелике складіть невелике повідомлення на тему,, народження...
1

Записать элементы множества E, если E = A \cup B, A \cap B, A...
1

Какое из утверждений НЕ относится к признакам параллелограмма?...
2