Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .


Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимос

Topxic Topxic    1   25.10.2020 13:32    5

Ответы
1298school 1298school  24.11.2020 13:33

\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(x+4)^n}{5n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n(x+4)^n

\dfrac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{5n+1}}=1\\ \Rightarrow R=1

А значит интервал сходимости x\in(-5;-3)

Исследуем на концах:

x=-3\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n(-3+4)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{5n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n

\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{\frac{1}{n}}=\dfrac{1}{5}, \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n} расходится, как гармонический - а тогда, согласно предельному признаку сравнения, \sum\limits_{n=1}^\infty b_n также расходится

x=-5\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n(-5+4)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{5n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^nc_n

1) c_n0

2) \left(\dfrac{1}{5n+1}\right)'=-\dfrac{5}{(5n+1)^2} , а значит \{c_n\} монотонно убывает

3) \lim\limits_{n\to\infty} c_n=0

А тогда, по признаку Лейбница, \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^nc_n сходится

А значит ряд сходится на [-5;-3)

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ