1. Алгебра
  2. Найти интервал сходимости степенного

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .


Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимос

varta varta    3   25.10.2020 13:30    2

Ответы
Dudoleyka Dudoleyka  24.11.2020 13:31

\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{5^nx^n}{3^nn^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n

\dfrac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{5^n}{3^nn^4}}=\dfrac{5}{3}\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{n^4}}=\dfrac{5}{3}\\ \Rightarrow R=\dfrac{3}{5}

А значит интервал сходимости x\in(-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5})

Исследуем на концах:

x=\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^4} - сходится как обобщенный гармонический ряд с k=41

x=-\dfrac{3}{5}\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left(-\dfrac{3}{5}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4}=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n

Заметим, что ряд из модулей \sum\limits_{n=1}^\infty |b_n|=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^4} сходится (по доказанному ранее). А значит и ряд \sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{n^4} сходится

А тогда исходный ряд сходится на \left[-\dfrac{3}{5};\dfrac{3}{5}\right]

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
kisel2014 kisel2014  07.09.2019 23:40
А^2-25 дробь а^2+2а-35 и найдите ее значение при а= -2,5...
annaphilatovp06jxq annaphilatovp06jxq  07.09.2019 23:40
Для выпечки кекса требуется муки в 2 раза меньше чем для пирожков. сколько муки нужно взять для выпечки кекса если для кекса и пирожков нужно 2кг 400 г муки...
irapodumey irapodumey  07.09.2019 23:40
Скорость велосипедиста на 6км/ч больше скорости пешехода. велосипедист за 1 ч проезжает такое же расстояние какое проходит пешеход за 3 ч. какова скорость пешехода?...
sveta19772011owor7w sveta19772011owor7w  07.09.2019 23:40
Найдите значение выражения arccos 0 - arcctg 1...
помощьнужнв помощьнужнв  07.09.2019 23:40
|x+5|=6 |2x-3|=7 как решить эти уровнения...
253n 253n  07.09.2019 23:40
Данаарифметическая прогрессия мумма первыхее 10членов оавна 60а сумма первых 20ее членов равна320чему может быть равен 15-й член этой прогрессии...
hayatuzun00 hayatuzun00  28.07.2019 03:00
Решить, с: 0.6^3/11 * 5^10/11 * 45^4/11...
Russiangirl27 Russiangirl27  28.07.2019 03:00
На стройке работали 50 каменщиков и плотников.каменщиков увеличилось в 2 раза а плотников в 3 раза и всех стало 130.сколько было в начале каменщиков и плотников...
nucubidzezura nucubidzezura  06.08.2019 04:00
6х+12у-42=0, если у=0 7х-у-4=0, если х= 2 1/7 решите...
densher412 densher412  06.08.2019 04:00
Выражение х10 у8 дробная черта х9 у6 и найдите его значение при х=2.у=3...

Популярные вопросы