Найти экстремумы функции: f(x)=x/4+9/x

Решение во вложении.

Для нахождения экстремумов функции f(x) = x/4 + 9/x нам нужно взять её производную и найти её нули.

Шаг 1: Найдём производную функции f(x)
Для этого применим правила дифференцирования. Правило дифференцирования для суммы и разности функций говорит, что производная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) их производных.

f'(x) = (1/4) - (9/x^2)

Шаг 2: Найдём нули производной
Чтобы найти нули производной, приравняем её к нулю и решим полученное уравнение:

(1/4) - (9/x^2) = 0

Теперь умножим обе части уравнения на x^2, чтобы избавиться от знаменателя:

x^2/4 - 9 = 0

Перенесём -9 на другую сторону:

x^2/4 = 9

Теперь умножим обе части уравнения на 4:

x^2 = 36

Так как нам нужны значения x, возведём обе части уравнения в квадратный корень:

x = ± √36

Таким образом, получили два значения x: x = 6 и x = -6.

Шаг 3: Анализируем результаты
Теперь, когда мы нашли значения x, в которых производная равна нулю, мы можем проанализировать функцию f(x) в окрестностях этих точек, чтобы определить, являются ли они экстремумами.

Подставим каждое найденное значение x в функцию f(x):

f(6) = 6/4 + 9/6 = 3/2 + 3/2 = 3

f(-6) = (-6)/4 + 9/(-6) = -3/2 - 3/2 = -3

Получили, что f(6) = 3 и f(-6) = -3.

Шаг 4: Заключение
Исходя из анализа значений функции f(x) в окрестности найденных точек, мы можем сделать следующие выводы:
- Точка (6, 3) является локальным минимумом функции, так как значение f(x) = 3.
- Точка (-6, -3) является локальным максимумом функции, так как значение f(x) = -3.

Таким образом, у нас есть два экстремума функции: локальный минимум в точке (6, 3) и локальный максимум в точке (-6, -3).