Найти экстремумы функции

б) f(x)=3e^4x - 4e^3x​

Чтобы найти экстремумы функции, мы должны сначала найти ее первую производную, приравнять ее к нулю и решить уравнение, чтобы определить значения x, в которых функция может иметь экстремумы.

Дано: f(x) = 3e^4x - 4e^3x

1. Найдем первую производную функции f'(x):

f'(x) = (3e^4x - 4e^3x)' (применяем правило дифференцирования для суммы)

= (3e^4x)' - (4e^3x)' (применяем правило дифференцирования для произведения)

= 3 * (4e^4x) - 4 * (3e^3x) (применяем правило дифференцирования для степенной функции)

= 12e^4x - 12e^3x

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

12e^4x - 12e^3x = 0

Факторизуем уравнение:

12e^3x (e^4x - e^3x) = 0

e^3x (e^x - 1) = 0

Теперь мы можем найти значения x, в которых функция может иметь экстремумы. Есть два возможных варианта:

a) e^3x = 0

Это уравнение не имеет решений, так как экспоненциальная функция не может быть равна нулю.

b) e^x - 1 = 0

Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

e^x = 1

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:

ln(e^x) = ln(1)

x * ln(e) = 0

x * 1 = 0

x = 0

Таким образом, у нас только одно значение x, в котором функция f(x) может иметь экстремум: x = 0.

3. Чтобы определить, является ли найденная точка экстремума максимумом или минимумом, мы можем использовать вторую производную.

Для этого найдем вторую производную функции f''(x):

f''(x) = (12e^4x - 12e^3x)' (применяем правило дифференцирования)

= 0 - 0 (первая производная константы равна нулю)

= 0

Если вторая производная равна нулю, это означает, что в данной точке нет экстремума. Таким образом, точка x = 0 не является экстремумом функции f(x).

Вывод: Функция f(x) = 3e^4x - 4e^3x не имеет экстремумов.